Номер 1.69, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.69. 1) $y = \frac{x^2 - x}{x^3 + x^2 - 2x}$;

2) $y = x^2 - |x - 2| - 4$;

3) $y = (x + 1)(|x| - 2)$;

4) $y = \frac{|x - 2| + 1}{x + 3}$.

1) $y = \frac{x^2 - x}{x^3 + x^2 - 2x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^3 + x^2 - 2x \neq 0$

$x(x^2 + x - 2) \neq 0$

$x(x-1)(x+2) \neq 0$

Отсюда получаем, что $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -2$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 1) \cup (1; \infty)$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{x(x - 1)}{x(x+2)(x-1)}$

При $x \neq 0$ и $x \neq 1$ можно сократить дробь:

$y = \frac{1}{x+2}$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x+2}$ во всех точках, кроме тех, где $x=0$ и $x=1$. В этих точках на графике будут "выколотые" точки.

Найдем координаты этих точек, подставляя значения $x$ в упрощенную функцию:

• При $x=1$, $y = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$. Координаты первой выколотой точки: $(1; \frac{1}{3})$.

• При $x=0$, $y = \frac{1}{0+2} = \frac{1}{2}$. Координаты второй выколотой точки: $(0; \frac{1}{2})$.

График функции $y = \frac{1}{x+2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево. Вертикальная асимптота $x=-2$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: График функции является гиперболой $y=\frac{1}{x+2}$ с вертикальной асимптотой $x=-2$ и выколотыми точками $(0; \frac{1}{2})$ и $(1; \frac{1}{3})$.

2) $y = x^2 - |x-2| - 4$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x-2$.

1. Если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. В этом случае $|x-2| = x-2$.

$y = x^2 - (x-2) - 4 = x^2 - x - 2$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} < 2$, вершина не принадлежит этому участку графика.

2. Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$. В этом случае $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.

$y = x^2 - (-x+2) - 4 = x^2 + x - 6$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} < 2$, вершина принадлежит этому участку графика. Найдем ординату вершины: $y_v = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = -6.25$. Координаты вершины: $(-0.5; -6.25)$.

Проверим непрерывность функции в точке "склейки" $x=2$. Для обеих частей функции при $x=2$ получаем $y=2^2-2-2=0$ и $y=2^2+2-6=0$. Функция непрерывна, точка "склейки" имеет координаты $(2; 0)$.

Итак, график состоит из двух частей парабол:

$y = \begin{cases} x^2+x-6, & \text{если } x < 2 \\ x^2-x-2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(2; 0)$. При $x < 2$ это парабола $y = x^2 + x - 6$ с вершиной в точке $(-0.5; -6.25)$, а при $x \ge 2$ это часть параболы $y = x^2 - x - 2$.

3) $y = (x+1)(|x|-2)$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.

$y = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$.

Это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины: $x_v = \frac{1}{2}$, $y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = -2.25$. Вершина $(0.5; -2.25)$ принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 0$.

2. Если $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.

$y = (x+1)(-x-2) = -(x+1)(x+2) = -x^2 - 3x - 2$.

Это парабола с ветвями вниз. Координаты вершины: $x_v = -\frac{3}{2} = -1.5$, $y_v = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) - 2 = 0.25$. Вершина $(-1.5; 0.25)$ принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$.

В точке $x=0$ обе части графика сходятся в точке $(0; -2)$, функция непрерывна.

Итак, график состоит из двух частей парабол:

$y = \begin{cases} -x^2 - 3x - 2, & \text{если } x < 0 \\ x^2 - x - 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(0; -2)$. При $x < 0$ это парабола $y = -x^2 - 3x - 2$ (ветви вниз, вершина $(-1.5; 0.25)$), а при $x \ge 0$ это парабола $y = x^2 - x - 2$ (ветви вверх, вершина $(0.5; -2.25)$).

4) $y = \frac{|x-2|+1}{x+3}$

Найдем область определения: знаменатель $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$. Имеется вертикальная асимптота $x=-3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

$y = \frac{(x-2)+1}{x+3} = \frac{x-1}{x+3}$. Преобразуем дробь: $y = \frac{x+3-4}{x+3} = 1 - \frac{4}{x+3}$. При $x \to +\infty$, $y \to 1$. Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота справа.

2. Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.

$y = \frac{-(x-2)+1}{x+3} = \frac{-x+3}{x+3}$. Преобразуем дробь: $y = \frac{-(x+3)+6}{x+3} = -1 + \frac{6}{x+3}$. При $x \to -\infty$, $y \to -1$. Следовательно, $y=-1$ — горизонтальная асимптота слева.

В точке "склейки" $x=2$ функция непрерывна, так как для обеих частей $y(2)=\frac{1}{5}$.

Итак, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} -1 + \frac{6}{x+3}, & \text{если } x < 2, x \neq -3 \\ 1 - \frac{4}{x+3}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=-3$ и две разные горизонтальные асимптоты: $y=-1$ (при $x \to -\infty$) и $y=1$ (при $x \to +\infty$). При $x<2$ график является частью гиперболы $y = \frac{-x+3}{x+3}$, а при $x \ge 2$ — частью гиперболы $y = \frac{x-1}{x+3}$.