Номер 1.65, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.65. 1) $f(x)=\frac{2x-3}{x-1};$

2) $f(x)=\frac{x-2}{x+1};$

3) $f(x)=x^3-8.$

1) Чтобы найти функцию, обратную к функции $f(x) = \frac{2x-3}{x-1}$, запишем ее в виде $y = \frac{2x-3}{x-1}$. Цель состоит в том, чтобы выразить $x$ через $y$.
Область определения исходной функции: $x \neq 1$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x-1)$:
$y(x-1) = 2x-3$
Раскроем скобки:
$yx - y = 2x - 3$
Соберем все члены, содержащие $x$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:
$yx - 2x = y - 3$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(y-2) = y - 3$
Теперь выразим $x$:
$x = \frac{y-3}{y-2}$
На этом шаге мы видим, что область значений исходной функции — все действительные числа, кроме $y=2$.
Для нахождения обратной функции $f^{-1}(x)$ поменяем местами переменные $x$ и $y$ в полученном выражении:
$y = \frac{x-3}{x-2}$
Следовательно, обратная функция есть $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{x-2}$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{x-2}$

2) Найдем функцию, обратную к $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$.
Запишем функцию как $y = \frac{x-2}{x+1}$. Область определения: $x \neq -1$.
Выразим $x$ через $y$. Для этого умножим обе части на $(x+1)$:
$y(x+1) = x-2$
$yx + y = x-2$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а остальные в другую:
$yx - x = -y - 2$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(y-1) = -y - 2$
Выразим $x$:
$x = \frac{-y-2}{y-1}$ или $x = \frac{y+2}{1-y}$
Область значений исходной функции: $y \neq 1$.
Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию $f^{-1}(x)$:
$y = \frac{-x-2}{x-1}$
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{-x-2}{x-1}$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{-x-2}{x-1}$

3) Найдем функцию, обратную к $f(x) = x^3 - 8$.
Запишем функцию как $y = x^3 - 8$.
Данная функция определена для всех действительных $x$.
Выразим $x$ через $y$.
$x^3 = y + 8$
Возьмем кубический корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[3]{y+8}$
Чтобы найти обратную функцию $f^{-1}(x)$, поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \sqrt[3]{x+8}$
Обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x+8}$. Она также определена для всех действительных $x$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x+8}$