Номер 1.59, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.59*. $y = \begin{cases} 8 - (x + 6)^2, \text{ если } x < -6 \\ |x^2 - 6|x| + 8|, \text{ если } -6 \le x \le 5 \\ 3, \text{ если } x \ge 5 \end{cases}$

1. Анализ функции на интервале $x < -6$

На этом промежутке функция задается формулой $y = 8 - (x + 6)^2$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(-6, 8)$. Поскольку мы рассматриваем интервал $x < -6$, нас интересует только левая ветвь этой параболы. Функция на этом интервале строго возрастает. При приближении $x$ к $-6$ слева, значение $y$ стремится к $8 - (-6+6)^2 = 8$. Таким образом, на конце этого участка графика находится выколотая точка $(-6, 8)$.

Ответ: На интервале $(-\infty, -6)$ функция задается формулой $y=8-(x+6)^2$, её график — левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-6, 8)$, ветвями вниз. Функция возрастает от $-\infty$ до $8$.

2. Анализ функции на отрезке $-6 \le x \le 5$

На данном отрезке функция имеет вид $y = |x^2 - 6|x| + 8|$.
Для анализа этой части раскроем внутренний модуль $|x|$. Функция $g(x) = x^2 - 6|x| + 8$ является четной, так как $g(-x) = (-x)^2 - 6|-x| + 8 = x^2 - 6|x| + 8 = g(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси $Oy$.
Рассмотрим сначала случай $x \in [0, 5]$. Тогда $|x|=x$, и функция принимает вид $y = |x^2 - 6x + 8|$.Построим параболу $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Её вершина находится в точке $x_v = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$, $y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = -1$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=4$. Парабола отрицательна на интервале $(2, 4)$.
Так как $y = |f(x)|$, часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (на интервале $(2,4)$), отражается симметрично относительно этой оси. Вершина $(3, -1)$ переходит в точку $(3, 1)$.
Для $x \in [-6, 0)$ в силу четности график будет зеркальным отражением графика для $x>0$. Функция имеет вид $y = |x^2 + 6x + 8|$. Корни $x_1=-2, x_2=-4$. Вершина параболы $x^2 + 6x + 8$ находится в точке $(-3, -1)$, которая после взятия модуля переходит в $(-3, 1)$.
Проверим значения на концах отрезка:
$y(-6) = |(-6)^2 - 6|-6| + 8| = |36 - 36 + 8| = 8$.
$y(5) = |5^2 - 6|5| + 8| = |25 - 30 + 8| = |3| = 3$.
Точка $(-6, 8)$ принадлежит этому участку графика, "заполняя" выколотую точку с первого участка. Следовательно, в точке $x=-6$ функция непрерывна.

Ответ: На отрезке $[-6, 5]$ функция задается формулой $y=|x^2-6|x|+8|$. График имеет сложную "W-образную" форму, симметричную относительно оси Oy, с локальными максимумами в точках $(-3,1)$, $(0,8)$, $(3,1)$ и нулями в точках $-4, -2, 2, 4$.

3. Анализ функции на луче $x \ge 5$

При $x \ge 5$ функция является константой: $y=3$. График на этом участке представляет собой горизонтальный луч, начинающийся в точке $(5, 3)$.
Поскольку на втором участке $y(5)=3$, функция непрерывна и в точке $x=5$.

Ответ: На луче $[5, \infty)$ функция является постоянной $y=3$. Её график — горизонтальный луч, выходящий из точки $(5, 3)$.

4. Построение графика функции

Объединяя результаты анализа на всех трех промежутках, мы можем построить итоговый график. Функция непрерывна на всей числовой прямой $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси. Итоговый график функции, объединяющий все три участка, представлен на рисунке.