Страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.56*. Известно, что функция $f(x)$ нечетная, причем:

1) $f(x) = x^2, x \geq 0;$

2) $f(x) = x^2, x \leq 0$

3) $f(x) = x^2 - 2x, x \geq 0;$

4) $f(x) = \sqrt{x}, x > 0.$

Задайте эту функцию одной формулой и постройте ее график.

Для решения задачи воспользуемся определением нечетной функции: функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

1) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x) = x^2$ при $x \ge 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$.
Из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$.
Так как $-x > 0$, для $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$.
Следовательно, при $x < 0$, имеем $f(x) = -x^2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$

Для того чтобы задать эту функцию одной формулой, можно использовать функцию модуля $|x|$. Напомним, что $|x|=x$ при $x \ge 0$ и $|x|=-x$ при $x < 0$.
Рассмотрим выражение $x|x|$:
- при $x \ge 0$: $x|x| = x \cdot x = x^2$
- при $x < 0$: $x|x| = x \cdot (-x) = -x^2$
Это в точности совпадает с найденным нами выражением для $f(x)$.

График функции состоит из двух частей: ветви параболы $y=x^2$ для $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ для $x < 0$.

Ответ: $f(x) = x|x|$.

2) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x) = x^2$ при $x \le 0$.

Найдем вид функции при $x > 0$. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$.
Из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$.
Так как $-x < 0$, для $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$.
Следовательно, при $x > 0$, имеем $f(x) = -x^2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} -x^2, & x > 0 \\ x^2, & x \le 0 \end{cases}$

Для того чтобы задать эту функцию одной формулой, рассмотрим выражение $-x|x|$:
- при $x > 0$: $-x|x| = -x \cdot x = -x^2$
- при $x \le 0$: $-x|x| = -x \cdot (-x) = x^2$
Это в точности совпадает с найденным нами выражением для $f(x)$.

График функции состоит из двух частей: ветви параболы $y=x^2$ для $x \le 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ для $x > 0$.

Ответ: $f(x) = -x|x|$.

3) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x) = x^2 - 2x$ при $x \ge 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$.
Из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$.
Так как $-x > 0$, для $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.
Следовательно, при $x < 0$, имеем $f(x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}$

Для того чтобы задать эту функцию одной формулой, рассмотрим выражение $x|x| - 2x$:
- при $x \ge 0$: $x|x| - 2x = x \cdot x - 2x = x^2 - 2x$
- при $x < 0$: $x|x| - 2x = x \cdot (-x) - 2x = -x^2 - 2x$
Это в точности совпадает с найденным нами выражением для $f(x)$.

График функции при $x \ge 0$ является частью параболы $y=x^2-2x$ с вершиной в точке $(1, -1)$, а при $x < 0$ — частью параболы $y=-x^2-2x$ с вершиной в точке $(-1, 1)$.

Ответ: $f(x) = x|x| - 2x$.

4) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x) = \sqrt{x}$ при $x > 0$.
Для нечетной функции должно выполняться $f(0) = -f(-0)$, что означает $f(0) = -f(0)$, откуда $2f(0)=0$ и $f(0)=0$. Мы можем доопределить функцию в точке $x=0$, так как $\sqrt{0}=0$. Таким образом, $f(x) = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$.
Из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$.
Так как $-x > 0$, для $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу: $f(-x) = \sqrt{-x}$.
Следовательно, при $x < 0$, имеем $f(x) = -\sqrt{-x}$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 0 \\ -\sqrt{-x}, & x < 0 \end{cases}$

Для того чтобы задать эту функцию одной формулой, можно использовать функцию знака $\text{sgn}(x)$, которая равна $1$ при $x>0$, $-1$ при $x<0$ и $0$ при $x=0$.
Рассмотрим выражение $\text{sgn}(x)\sqrt{|x|}$:
- при $x > 0$: $\text{sgn}(x)\sqrt{|x|} = 1 \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x}$
- при $x < 0$: $\text{sgn}(x)\sqrt{|x|} = -1 \cdot \sqrt{-x} = -\sqrt{-x}$
- при $x = 0$: $\text{sgn}(0)\sqrt{|0|} = 0 \cdot 0 = 0$
Это в точности совпадает с найденным нами выражением для $f(x)$.

График функции при $x \ge 0$ является ветвью параболы, симметричной относительно оси $Ox$, $y=\sqrt{x}$, а при $x < 0$ — симметричной ей относительно начала координат ветвью $y=-\sqrt{-x}$.

Ответ: $f(x) = \text{sgn}(x)\sqrt{|x|}$.

1.57*. Известно, что функция $y = f(x)$ четная, причем:

1) $f(x) = \sqrt{x}$, $x \geq 0$;

2) $f(x) = x^2 - 3x$, $x \geq 0$;

3) $f(x) = x^2 - 2x$, $x \geq 0$;

4) $f(x) = \frac{1}{x+1}$, $x \leq 0$.

Задайте эту функцию одной формулой и постройте ее график.

В упражнениях 1.58* - 1.61* исследуйте функции и постройте их графики.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$. Так как функция $y = f(x)$ является четной, то по определению должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Для $x < 0$ значение $-x > 0$. Следовательно, мы можем найти значение функции в точке $x$, используя ее значение в точке $-x$: $f(x) = f(-x) = \sqrt{-x}$.

Таким образом, функцию можно задать кусочно: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это соответствует определению модуля числа: $|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Поэтому функцию можно задать одной формулой: $f(x) = \sqrt{|x|}$.

График функции для $x \ge 0$ — это ветвь параболы $y^2 = x$. Для $x < 0$ график симметричен относительно оси OY, что соответствует ветви параболы $y^2 = -x$.

Ответ: $f(x) = \sqrt{|x|}$.

2) Дана функция $f(x) = x^2 - 3x$ при $x \ge 0$. Функция является четной, поэтому $f(-x) = f(x)$.

Для $x < 0$ имеем $-x > 0$. Тогда $f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) = x^2 + 3x$.

Функцию можно задать кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Используя определение модуля $|x|$, эту функцию можно записать одной формулой. Поскольку $x^2 = |x|^2$, получаем: $f(x) = |x|^2 - 3|x| = x^2 - 3|x|$.

Для построения графика сначала построим параболу $y = x^2 - 3x$ для $x \ge 0$. Вершина этой параболы находится в точке $x_v = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1.5$, $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) = -2.25$. Корни: $x(x-3)=0 \implies x=0, x=3$.

Затем отразим полученную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить график для $x < 0$. Это будет график функции $y = x^2 + 3x$.

Ответ: $f(x) = x^2 - 3|x|$.

3) Дана функция $f(x) = x^2 - 2x$ при $x \ge 0$. Функция четная, поэтому $f(-x) = f(x)$.

Для $x < 0$ имеем $-x > 0$. Тогда $f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.

Функцию можно задать кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Используя определение модуля, получаем единую формулу: $f(x) = |x|^2 - 2|x| = x^2 - 2|x|$.

Для построения графика строим параболу $y = x^2 - 2x$ для $x \ge 0$. Вершина: $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$, $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Корни: $x(x-2)=0 \implies x=0, x=2$.

Затем отражаем эту часть графика симметрично относительно оси OY. В результате в точке $(0,0)$ образуется излом (касп).

Ответ: $f(x) = x^2 - 2|x|$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x+1}$ при $x \le 0$. Функция является четной, значит $f(-x) = f(x)$.

Для $x > 0$ имеем $-x < 0$. Тогда $f(x) = f(-x) = \frac{1}{(-x)+1} = \frac{1}{1-x}$.

Функцию можно задать кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1-x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

Чтобы записать это одной формулой, заметим, что для $x > 0$, $|x|=x$, и формула принимает вид $\frac{1}{1-|x|}$. Для $x \le 0$, $|x|=-x$, и формула принимает вид $\frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}$. Таким образом, единая формула: $f(x) = \frac{1}{1-|x|}$.

Область определения: $1-|x| \ne 0 \implies |x| \ne 1 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$. У функции есть две вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.

Для $x \le 0$ график является частью гиперболы $y = \frac{1}{x+1}$. Для $x > 0$ график симметричен относительно оси OY.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{1-|x|}$.

1.58*. $y = \begin{cases} 3, & \text{если } x \le -4, \\ |x^2 - 4|x| + 3|, & \text{если } -4 \le x \le 4, \\ 3 - (x - 4)^2, & \text{если } x > 4. \end{cases}$

Для построения графика функции, заданной кусочно, рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. Построение на промежутке $x \le -4$

На этом промежутке функция задается формулой $y = 3$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая линия, проходящая на уровне $y=3$. Поскольку условие $x \le -4$, мы строим только ту часть прямой, которая находится левее точки $x=-4$, включая саму точку. Таким образом, это луч, выходящий из точки с координатами $(-4, 3)$ и идущий влево параллельно оси абсцисс.

Ответ: На промежутке $(-\infty, -4]$ график функции — это луч, выходящий из точки $(-4, 3)$ и идущий влево параллельно оси Ox.

2. Построение на промежутке $-4 \le x \le 4$

На этом отрезке функция имеет вид $y = |x^2 - 4|x| + 3|$.

Для начала исследуем функцию на четность. Найдем $y(-x)$:$y(-x) = |(-x)^2 - 4|-x| + 3| = |x^2 - 4|x| + 3| = y(x)$.Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому достаточно построить график для $x \in [0, 4]$, а затем симметрично отразить его относительно оси Oy, чтобы получить график на отрезке $[-4, 0]$.

Рассмотрим $x \in [0, 4]$. На этом интервале $|x| = x$, и функция принимает вид $y = |x^2 - 4x + 3|$.Для построения этого графика сначала построим параболу $z = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.Найдем ее нули, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.Вершина параболы находится в точке $x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2$. Значение функции в вершине: $z(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.Итак, парабола $z = x^2 - 4x + 3$ пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=3$, и ее вершина находится в точке $(2, -1)$.

Теперь учтем модуль: $y = |x^2 - 4x + 3|$. Часть параболы, где $z \ge 0$ (то есть при $x \in [0, 1] \cup [3, 4]$), остается без изменений. Часть параболы, где $z < 0$ (то есть при $x \in (1, 3)$), симметрично отражается относительно оси Ox.

Найдем координаты ключевых точек на отрезке $[0, 4]$:

• $y(0) = |0^2 - 4(0) + 3| = 3$. Точка $(0, 3)$.
• $y(1) = |1^2 - 4(1) + 3| = |0| = 0$. Точка $(1, 0)$.
• $y(2) = |2^2 - 4(2) + 3| = |-1| = 1$. Точка $(2, 1)$, вершина отраженной части.
• $y(3) = |3^2 - 4(3) + 3| = |0| = 0$. Точка $(3, 0)$.
• $y(4) = |4^2 - 4(4) + 3| = |3| = 3$. Точка $(4, 3)$.

Используя симметрию относительно оси Oy, получаем ключевые точки для отрезка $[-4, 0]$: $(-4, 3)$, $(-3, 0)$, $(-2, 1)$, $(-1, 0)$, $(0, 3)$.Заметим, что в граничных точках $x=-4$ и $x=4$ значение функции равно 3, что совпадает со значением на соседних участках.

Ответ: На промежутке $[-4, 4]$ график функции симметричен относительно оси Oy и состоит из участков парабол, соединяющих точки $(-4, 3)$, $(-3, 0)$, $(-2, 1)$, $(-1, 0)$, $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(3, 0)$ и $(4, 3)$.

3. Построение на промежутке $x > 4$

На этом промежутке функция задается формулой $y = 3 - (x-4)^2$.Это уравнение параболы вида $y = -x^2$, смещенной на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Ее вершина находится в точке $(4, 3)$, а ветви направлены вниз.Так как $x > 4$, мы строим правую ветвь этой параболы, начиная от ее вершины (не включая саму вершину).Предел функции при $x \to 4^+$ равен $3 - (4-4)^2 = 3$, что совпадает со значением функции в точке $x=4$ на предыдущем участке. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=4$.

Ответ: На промежутке $(4, +\infty)$ график функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(4, 3)$, направленная вниз.

Общий график функции

Объединяя все три части, получаем итоговый график функции.

Из графика видно, что функция принимает все значения от 3 и меньше. Максимальное значение функции равно 3. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty, 3]$.

Ответ: График функции построен. Область значений функции $E(y) = (-\infty, 3]$.

1.59*. $y = \begin{cases} 8 - (x + 6)^2, \text{ если } x < -6 \\ |x^2 - 6|x| + 8|, \text{ если } -6 \le x \le 5 \\ 3, \text{ если } x \ge 5 \end{cases}$

1. Анализ функции на интервале $x < -6$

На этом промежутке функция задается формулой $y = 8 - (x + 6)^2$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(-6, 8)$. Поскольку мы рассматриваем интервал $x < -6$, нас интересует только левая ветвь этой параболы. Функция на этом интервале строго возрастает. При приближении $x$ к $-6$ слева, значение $y$ стремится к $8 - (-6+6)^2 = 8$. Таким образом, на конце этого участка графика находится выколотая точка $(-6, 8)$.

Ответ: На интервале $(-\infty, -6)$ функция задается формулой $y=8-(x+6)^2$, её график — левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-6, 8)$, ветвями вниз. Функция возрастает от $-\infty$ до $8$.

2. Анализ функции на отрезке $-6 \le x \le 5$

На данном отрезке функция имеет вид $y = |x^2 - 6|x| + 8|$.
Для анализа этой части раскроем внутренний модуль $|x|$. Функция $g(x) = x^2 - 6|x| + 8$ является четной, так как $g(-x) = (-x)^2 - 6|-x| + 8 = x^2 - 6|x| + 8 = g(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси $Oy$.
Рассмотрим сначала случай $x \in [0, 5]$. Тогда $|x|=x$, и функция принимает вид $y = |x^2 - 6x + 8|$.Построим параболу $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Её вершина находится в точке $x_v = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$, $y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = -1$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=4$. Парабола отрицательна на интервале $(2, 4)$.
Так как $y = |f(x)|$, часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (на интервале $(2,4)$), отражается симметрично относительно этой оси. Вершина $(3, -1)$ переходит в точку $(3, 1)$.
Для $x \in [-6, 0)$ в силу четности график будет зеркальным отражением графика для $x>0$. Функция имеет вид $y = |x^2 + 6x + 8|$. Корни $x_1=-2, x_2=-4$. Вершина параболы $x^2 + 6x + 8$ находится в точке $(-3, -1)$, которая после взятия модуля переходит в $(-3, 1)$.
Проверим значения на концах отрезка:
$y(-6) = |(-6)^2 - 6|-6| + 8| = |36 - 36 + 8| = 8$.
$y(5) = |5^2 - 6|5| + 8| = |25 - 30 + 8| = |3| = 3$.
Точка $(-6, 8)$ принадлежит этому участку графика, "заполняя" выколотую точку с первого участка. Следовательно, в точке $x=-6$ функция непрерывна.

Ответ: На отрезке $[-6, 5]$ функция задается формулой $y=|x^2-6|x|+8|$. График имеет сложную "W-образную" форму, симметричную относительно оси Oy, с локальными максимумами в точках $(-3,1)$, $(0,8)$, $(3,1)$ и нулями в точках $-4, -2, 2, 4$.

3. Анализ функции на луче $x \ge 5$

При $x \ge 5$ функция является константой: $y=3$. График на этом участке представляет собой горизонтальный луч, начинающийся в точке $(5, 3)$.
Поскольку на втором участке $y(5)=3$, функция непрерывна и в точке $x=5$.

Ответ: На луче $[5, \infty)$ функция является постоянной $y=3$. Её график — горизонтальный луч, выходящий из точки $(5, 3)$.

4. Построение графика функции

Объединяя результаты анализа на всех трех промежутках, мы можем построить итоговый график. Функция непрерывна на всей числовой прямой $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси. Итоговый график функции, объединяющий все три участка, представлен на рисунке.

1.60*. $y = \begin{cases} \vert \vert \vert x \vert - 1 \vert - 1 \vert, & \text{если } \vert x \vert < 2, \\ \sqrt{\vert x \vert - 2}, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

Для решения задачи проанализируем функцию $y(x)$, заданную кусочно:

$y = \begin{cases} |||x| - 1| - 1|, & \text{если } |x| < 2, \\ \sqrt{|x| - 2}, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

1. Определение области определения функции

Функция определена на двух участках.
Первый участок задан условием $|x| < 2$, что эквивалентно двойному неравенству $-2 < x < 2$. Это интервал $(-2, 2)$.
Второй участок задан условием $x \ge 2$. Это луч $[2, \infty)$.
Областью определения $D(y)$ всей функции является объединение этих двух множеств: $D(y) = (-2, 2) \cup [2, \infty) = (-2, \infty)$.

2. Анализ первого участка: $y = |||x| - 1| - 1|$ при $|x| < 2$

Выражение на этом участке зависит от $|x|$, что делает функцию четной ($y(-x) = y(x)$). Ее график симметричен относительно оси ординат OY. Поэтому достаточно исследовать функцию на промежутке $[0, 2)$ и затем симметрично отразить результат для промежутка $(-2, 0)$.
При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = ||x - 1| - 1|$.
Раскроем модули последовательно:
а) Для $x \in [0, 1)$, выражение $x - 1$ отрицательно, поэтому $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Тогда $y = |(1 - x) - 1| = |-x|$. Так как $x \ge 0$, $|-x| = x$. Итак, $y=x$ на $[0, 1)$.
б) Для $x \in [1, 2)$, выражение $x - 1$ неотрицательно, поэтому $|x - 1| = x - 1$.
Тогда $y = |(x - 1) - 1| = |x - 2|$. Так как на интервале $[1, 2)$ выражение $x - 2$ отрицательно, $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Итак, $y=2-x$ на $[1, 2)$.
Таким образом, для $x \in [0, 2)$ функция имеет вид:$y = \begin{cases} x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 \le x < 2 \end{cases}$
Используя свойство четности, найдем вид функции для $x \in (-2, 0)$. График на этом промежутке будет зеркальным отражением графика для $x \in (0, 2)$ относительно оси OY.
Для $x \in (-1, 0)$ будет $y = -x$.
Для $x \in (-2, -1]$ будет $y = 2 - (-x) = 2 + x$.
Полное выражение для первого участка:$y = \begin{cases} x+2, & \text{если } -2 < x < -1 \\ -x, & \text{если } -1 \le x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 \le x < 2 \end{cases}$

3. Анализ второго участка: $y = \sqrt{|x| - 2}$ при $x \ge 2$

На этом участке $x \ge 2$, следовательно, $x$ положителен, и $|x| = x$.
Функция упрощается до $y = \sqrt{x - 2}$.
График этой функции — верхняя ветвь параболы $y^2 = x - 2$, что является графиком функции $y = \sqrt{x}$, смещенным на 2 единицы вправо по оси OX.

4. Итоговая функция и построение графика

Объединяя все части, получаем итоговое выражение для функции на всей области определения:$y = \begin{cases} x+2, & \text{если } -2 < x < -1 \\ -x, & \text{если } -1 \le x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 \le x < 2 \\ \sqrt{x-2}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$
Проверим непрерывность функции в точке "склейки" $x=2$.
Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} y = \lim_{x \to 2^-} (2-x) = 0$.
Значение в точке: $y(2) = \sqrt{2-2} = 0$.
Так как предел слева равен значению функции в точке, функция непрерывна в $x=2$.
График функции состоит из четырех отрезков прямых и ветви параболы.

Ответ: Итоговая функция определена на промежутке $(-2, \infty)$ и задается выражением:

$y = \begin{cases} x+2, & \text{если } -2 < x < -1 \\ -x, & \text{если } -1 \le x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 \le x < 2 \\ \sqrt{x-2}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

График функции изображен на рисунке выше. Функция непрерывна на всей своей области определения. Она имеет две точки локального максимума $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, и одну точку локального минимума $(0, 0)$.

1.61*. $y = \begin{cases} 2 - \sqrt{4 - |x|}, & \text{если } |x| \le 4 \\ \frac{8}{x}, & \text{если } |x| > 4 \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция задана кусочно. Первый участок $y = 2 - \sqrt{4 - |x|}$ определен при условии $4 - |x| \ge 0$, что равносильно $|x| \le 4$. Это совпадает с условием, при котором задана эта часть функции. Второй участок $y = \frac{8}{x}$ определен для всех $x \ne 0$. Условие $|x| > 4$ (то есть $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$) удовлетворяет этому. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Исследование на четность

Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем $y(-x)$:

• При $|x| \le 4$, имеем $|-x| = |x| \le 4$, поэтому $y(-x) = 2 - \sqrt{4 - |-x|} = 2 - \sqrt{4 - |x|} = y(x)$.
• При $|x| > 4$, имеем $|-x| = |x| > 4$, поэтому $y(-x) = \frac{8}{-x} = - \frac{8}{x} = -y(x)$.

3. Точки пересечения с осями координат

- Пересечение с осью Oy (x=0): Поскольку $|0| \le 4$, используем первую формулу: $y(0) = 2 - \sqrt{4 - |0|} = 2 - 2 = 0$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$. - Пересечение с осью Ox (y=0): Рассмотрим два случая: 1. Если $|x| \le 4$, то $2 - \sqrt{4 - |x|} = 0 \implies \sqrt{4 - |x|} = 2 \implies 4 - |x| = 4 \implies |x| = 0 \implies x = 0$. 2. Если $|x| > 4$, то $\frac{8}{x} = 0$. Это уравнение не имеет решений. Единственная точка пересечения с осью Ox: $(0, 0)$.

4. Исследование на непрерывность и асимптоты

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, -4)$, $(-4, 4)$ и $(4, \infty)$ как композиция элементарных функций. Исследуем поведение в точках "стыка" $x = -4$ и $x = 4$. - В точке $x=4$: $\lim_{x \to 4^-} y(x) = \lim_{x \to 4^-} (2 - \sqrt{4 - |x|}) = 2 - \sqrt{4-4} = 2$. $\lim_{x \to 4^+} y(x) = \lim_{x \to 4^+} \frac{8}{x} = \frac{8}{4} = 2$. $y(4) = 2 - \sqrt{4-|4|} = 2$. Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна в $x=4$. - В точке $x=-4$: $\lim_{x \to -4^-} y(x) = \lim_{x \to -4^-} \frac{8}{x} = \frac{8}{-4} = -2$. $\lim_{x \to -4^+} y(x) = \lim_{x \to -4^+} (2 - \sqrt{4 - |x|}) = 2 - \sqrt{4-|-4|} = 2$. $y(-4) = 2 - \sqrt{4-|-4|} = 2$. Поскольку пределы слева и справа не равны, функция имеет в точке $x=-4$ разрыв первого рода (скачок). Асимптоты: - Вертикальных асимптот нет, так как функция определена везде, а единственная точка разрыва является скачком. - Горизонтальные асимптоты: При $x \to \pm\infty$, функция задается формулой $y = \frac{8}{x}$. $\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{8}{x} = 0$. Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем производную функции на каждом участке: - При $x \in (0, 4)$: $y = 2 - \sqrt{4-x}$, $y' = \frac{1}{2\sqrt{4-x}} > 0$. Функция возрастает на $[0, 4]$. - При $x \in (-4, 0)$: $y = 2 - \sqrt{4+x}$, $y' = -\frac{1}{2\sqrt{4+x}} < 0$. Функция убывает на $[-4, 0]$. - При $|x| > 4$: $y = \frac{8}{x}$, $y' = -\frac{8}{x^2} < 0$. Функция убывает на $(-\infty, -4)$ и на $(4, \infty)$.Анализ точек экстремума: - В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$. - В точке $x=4$ функция переходит от возрастания к убыванию, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(4) = 2$. - В точке $x=-4$ функция убывает слева (до скачка) и убывает справа от точки. Однако, значение $y(-4)=2$, а $\lim_{x \to -4^-} y(x) = -2$ и на интервале $(-4, 0)$ функция убывает от 2. Следовательно, $x=-4$ также является точкой локального максимума. $y_{max} = y(-4) = 2$.

Ответ:

На основе проведенного анализа построим график функции.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция общего вида.
• Пересечение с осями: $(0; 0)$.
• Точка разрыва: $x=-4$ (скачок).
• Асимптота: $y=0$ (горизонтальная).
• Промежутки убывания: $(-\infty, -4)$, $[-4, 0]$, $(4, \infty)$.
• Промежуток возрастания: $[0, 4]$.
• Локальный минимум: $(0, 0)$.
• Локальные максимумы: $(-4, 2)$ и $(4, 2)$.