Страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.44. Найдите точки пересечения функции с осью абсцисс:

1) $y = 3x - x^2$;

2) $y = 3x^2 - 6x + 1$;

3) $y = \sqrt{x - 2} - 3$;

4) $y = 5 - \sqrt{2x + 1}$;

5) $y = |x - 4| - 2$;

6) $y = 3 - |2x + 3|$;

7) $y = \begin{cases} (x - 1)^3, & \text{если } x \ge 0, \\ \frac{1}{x - 1}, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

8) $y = \begin{cases} -x^2 - 2x, & \text{если } x < 1, \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

1)Для нахождения точек пересечения графика функции $y = 3x - x^2$ с осью абсцисс (осью Ox), необходимо приравнять значение функции к нулю, то есть решить уравнение $y = 0$.

$3x - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = 0$

$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$

Следовательно, точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(3, 0)$.

2)Найдем точки пересечения функции $y = 3x^2 - 6x + 1$ с осью абсцисс. Для этого решим уравнение $y=0$:

$3x^2 - 6x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Корни уравнения: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Точки пересечения с осью абсцисс: $(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$.

Ответ: $(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$, $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$.

3)Найдем точки пересечения функции $y = \sqrt{x - 2} - 3$ с осью абсцисс. Приравниваем $y$ к нулю:

$\sqrt{x - 2} - 3 = 0$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Теперь решим уравнение:

$\sqrt{x - 2} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x - 2 = 3^2$

$x - 2 = 9$

$x = 11$

Полученное значение $x=11$ удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 2$).

Следовательно, точка пересечения с осью абсцисс: $(11, 0)$.

Ответ: $(11, 0)$.

4)Найдем точки пересечения функции $y = 5 - \sqrt{2x + 1}$ с осью абсцисс. Решим уравнение $y=0$:

$5 - \sqrt{2x + 1} = 0$

ОДЗ: $2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5$.

Решаем уравнение:

$\sqrt{2x + 1} = 5$

Возводим обе части в квадрат:

$2x + 1 = 5^2$

$2x + 1 = 25$

$2x = 24$

$x = 12$

Значение $x=12$ удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge -0.5$).

Точка пересечения: $(12, 0)$.

Ответ: $(12, 0)$.

5)Найдем точки пересечения функции $y = |x - 4| - 2$ с осью абсцисс, решив уравнение $y=0$:

$|x - 4| - 2 = 0$

$|x - 4| = 2$

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

1) $x - 4 = 2 \implies x_1 = 6$

2) $x - 4 = -2 \implies x_2 = 2$

Получаем две точки пересечения с осью абсцисс: $(2, 0)$ и $(6, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(6, 0)$.

6)Найдем точки пересечения функции $y = 3 - |2x + 3|$ с осью абсцисс. Решаем $y=0$:

$3 - |2x + 3| = 0$

$|2x + 3| = 3$

Раскроем модуль:

1) $2x + 3 = 3 \implies 2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $2x + 3 = -3 \implies 2x = -6 \implies x_2 = -3$

Точки пересечения: $(-3, 0)$ и $(0, 0)$.

Ответ: $(-3, 0)$, $(0, 0)$.

7)Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} (x-1)^3, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, нужно рассмотреть каждую часть функции отдельно.

1. Рассмотрим случай $x \ge 0$. Функция имеет вид $y = (x-1)^3$.

$(x-1)^3 = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$

Значение $x=1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, $(1, 0)$ является точкой пересечения.

2. Рассмотрим случай $x < 0$. Функция имеет вид $y = \frac{1}{x-1}$.

$\frac{1}{x-1} = 0$

Дробь равна нулю, только если ее числитель равен нулю. В данном случае числитель равен 1, поэтому это уравнение не имеет решений.

Таким образом, у функции есть только одна точка пересечения с осью абсцисс.

Ответ: $(1, 0)$.

8)Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} -x^2 - 2x, & \text{если } x < 1 \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$. Рассмотрим каждую часть функции.

1. Рассмотрим случай $x < 1$. Функция имеет вид $y = -x^2 - 2x$.

$-x^2 - 2x = 0$

$-x(x + 2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Проверим, удовлетворяют ли они условию $x < 1$:

$x_1 = 0$: $0 < 1$ (удовлетворяет).

$x_2 = -2$: $-2 < 1$ (удовлетворяет).

Значит, точки $(0, 0)$ и $(-2, 0)$ являются точками пересечения.

2. Рассмотрим случай $x \ge 1$. Функция имеет вид $y = -\frac{1}{x}$.

$-\frac{1}{x} = 0$

Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби не равен нулю.

Объединяя результаты, получаем две точки пересечения.

Ответ: $(-2, 0)$, $(0, 0)$.

1.45. Для функции $f(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } -3 \le x \le 0, \\ x, & \text{если } 0 < x < 1, \\ 1, & \text{если } 1 \le x \le 5 \end{cases}$

найдите значения $f(-2), f(0), f\left(\frac{1}{2}\right), f\left(\frac{1}{3}\right), f(1), f(4).$

Для того чтобы найти значения функции $f(x)$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо определить, какому из трех интервалов области определения принадлежит каждый аргумент, и применить соответствующую этому интервалу формулу.

Функция задана следующим образом: $f(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } -3 \le x \le 0 \\ x, & \text{если } 0 < x < 1 \\ 1, & \text{если } 1 \le x \le 5 \end{cases}$

f(-2)
Значение аргумента $x = -2$. Проверяем принадлежность к интервалам: $-3 \le -2 \le 0$. Это неравенство верно. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = -1$.
Ответ: $f(-2) = -1$.

f(0)
Значение аргумента $x = 0$. Проверяем принадлежность к интервалам: $-3 \le 0 \le 0$. Это неравенство верно, так как точка $x=0$ включена в первый интервал. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = -1$.
Ответ: $f(0) = -1$.

f(1/2)
Значение аргумента $x = \frac{1}{2}$. Проверяем принадлежность к интервалам: $0 < \frac{1}{2} < 1$. Это неравенство верно. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x$.
Ответ: $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

f(1/3)
Значение аргумента $x = \frac{1}{3}$. Проверяем принадлежность к интервалам: $0 < \frac{1}{3} < 1$. Это неравенство верно. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = x$.
Ответ: $f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

f(1)
Значение аргумента $x = 1$. Проверяем принадлежность к интервалам: $1 \le 1 \le 5$. Это неравенство верно, так как точка $x=1$ включена в третий интервал. Следовательно, используем третью формулу: $f(x) = 1$.
Ответ: $f(1) = 1$.

f(4)
Значение аргумента $x = 4$. Проверяем принадлежность к интервалам: $1 \le 4 \le 5$. Это неравенство верно. Следовательно, используем третью формулу: $f(x) = 1$.
Ответ: $f(4) = 1$.

1.46. Для функции $f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1, \text{ если } |x| \le 2 \\ 1, \text{ если } x > 2 \end{cases}$
найдите значения $f(-2)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(5)$.

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому из условий удовлетворяет аргумент $x$, и затем использовать соответствующую формулу.

Функция задана следующим образом: $f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1, & \text{если } |x| \le 2 \\ 1, & \text{если } x > 2 \end{cases} $

Первое условие $|x| \le 2$ означает, что значение $x$ находится в промежутке от -2 до 2 включительно, то есть $-2 \le x \le 2$. Для всех $x$ из этого промежутка используется формула $f(x) = x^2 - x + 1$.

Второе условие $x > 2$ означает, что для всех $x$, строго больших 2, значение функции равно 1.

f(-2)

Значение аргумента $x = -2$. Проверяем условие: $|-2| = 2$. Так как $2 \le 2$, условие $|x| \le 2$ выполняется. Используем первую формулу:
$f(-2) = (-2)^2 - (-2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$.
Ответ: 7

f(0)

Значение аргумента $x = 0$. Проверяем условие: $|0| = 0$. Так как $0 \le 2$, условие $|x| \le 2$ выполняется. Используем первую формулу:
$f(0) = 0^2 - 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

f(2)

Значение аргумента $x = 2$. Проверяем условие: $|2| = 2$. Так как $2 \le 2$, условие $|x| \le 2$ выполняется. Используем первую формулу:
$f(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$.
Ответ: 3

f(3)

Значение аргумента $x = 3$. Проверяем условие: $3 > 2$. Условие $x > 2$ выполняется. Используем вторую формулу:
$f(3) = 1$.
Ответ: 1

f(5)

Значение аргумента $x = 5$. Проверяем условие: $5 > 2$. Условие $x > 2$ выполняется. Используем вторую формулу:
$f(5) = 1$.
Ответ: 1

1.47. На рис. 1.28 задан график функции $y=\varphi(x)$. Найдите:

1) $\varphi(-5)$, $\varphi(-2)$, $\varphi(3)$, $\varphi(5)$;

2) значения $x$, удовлетворяющие равенствам $\varphi(x)=2$, $\varphi(x)=0$, $\varphi(x)=-1$.

Рис. 1.28

1) Чтобы найти значение функции $y = φ(x)$ для заданного значения аргумента $x$, нужно найти на графике точку с этой абсциссой и определить ее ординату.
- Для $x = -5$: находим на оси $x$ значение -5. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 1$. Следовательно, $φ(-5) = 1$.
- Для $x = -2$: находим на оси $x$ значение -2. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -2$. Следовательно, $φ(-2) = -2$.
- Для $x = 3$: находим на оси $x$ значение 3. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 2$. Следовательно, $φ(3) = 2$.
- Для $x = 5$: находим на оси $x$ значение 5. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 4$. Следовательно, $φ(5) = 4$.
Ответ: $φ(-5) = 1$, $φ(-2) = -2$, $φ(3) = 2$, $φ(5) = 4$.

2) Чтобы найти значения $x$, удовлетворяющие заданным равенствам, нужно найти на графике точки с указанной ординатой $y = φ(x)$ и определить их абсциссы.
- Для $φ(x) = 2$: мысленно проводим горизонтальную прямую $y=2$. Она пересекает график в точках, абсциссы которых равны $x = -6$ и $x = 3$.
- Для $φ(x) = 0$: находим точки пересечения графика с осью абсцисс (прямая $y=0$). Это происходит в точках с абсциссами $x = -4$ и $x = 0$.
- Для $φ(x) = -1$: мысленно проводим горизонтальную прямую $y=-1$. Она пересекает график в точках, абсциссы которых равны $x = -3$ и $x = -1$.
Ответ: для $φ(x) = 2$ $x=-6$ или $x=3$; для $φ(x) = 0$ $x=-4$ или $x=0$; для $φ(x) = -1$ $x=-3$ или $x=-1$.

1.48. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = x - 1$;

2) $g(x) = \sqrt{x + 3}$;

3) $h(x) = \sqrt{x^2 - 1}$;

4) $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$;

5) $g(x) = \sqrt{5 - 10x}$;

6) $\varphi(x) = \sqrt{10x - 5}$;

7) $F(x) = \frac{x - 1}{2x + 3}$;

8) $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 3}$;

9) $g(x) = \frac{3x + 1}{x^2 - 3x + 2}$.

1) Функция $f(x)=x-1$ является линейной (многочлен). Она определена для любых действительных значений $x$, так как в ее выражении нет операций деления на переменную или извлечения корня четной степени. Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) Функция $g(x)=\sqrt{x+3}$ определена, когда выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство $x+3 \ge 0$. Перенося 3 в правую часть, получаем $x \ge -3$. Ответ: $D(g) = [-3; +\infty)$.

3) Для функции $h(x)=\sqrt{x^2-1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2-1 \ge 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1) \ge 0$. Решением этого квадратичного неравенства является объединение промежутков, где $x \le -1$ или $x \ge 1$. Ответ: $D(h) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x)=\sqrt{16-x^2}$ задается условием, что подкоренное выражение неотрицательно: $16-x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 16$. Извлекая корень из обеих частей, получаем $|x| \le 4$, что означает $-4 \le x \le 4$. Ответ: $D(f) = [-4; 4]$.

5) Для функции $g(x)=\sqrt{5-10x}$ выражение под корнем должно быть неотрицательно: $5-10x \ge 0$. Решаем неравенство: $5 \ge 10x$, что равносильно $x \le \frac{5}{10}$, то есть $x \le 0.5$. Ответ: $D(g) = (-\infty; 0.5]$.

6) Для функции $\varphi(x)=\sqrt{10x-5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $10x-5 \ge 0$. Решаем неравенство: $10x \ge 5$, что равносильно $x \ge \frac{5}{10}$, то есть $x \ge 0.5$. Ответ: $D(\varphi) = [0.5; +\infty)$.

7) Функция $F(x)=\frac{x-1}{2x+3}$ является дробно-рациональной. Она определена, когда ее знаменатель не равен нулю. Приравниваем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения: $2x+3 = 0$. Решая уравнение, получаем $2x = -3$, откуда $x = -1.5$. Значит, $x$ может быть любым числом, кроме -1.5. Ответ: $D(F) = (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; +\infty)$.

8) В функции $f(x)=\frac{2x}{x^2+3}$ знаменатель $x^2+3$ должен быть отличен от нуля. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+3 \ge 3$. Это означает, что знаменатель всегда положителен и никогда не обращается в ноль. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел. Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

9) Область определения функции $g(x)=\frac{3x+1}{x^2-3x+2}$ находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x^2-3x+2 \neq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2-3x+2 = 0$, чтобы определить значения, которые $x$ не может принимать. По теореме Виета (сумма корней равна 3, произведение равно 2), корнями являются $x_1=1$ и $x_2=2$. Таким образом, $x$ не может быть равен 1 и 2. Ответ: $D(g) = (-\infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$.