Номер 1.44, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.44. Найдите точки пересечения функции с осью абсцисс:

1) $y = 3x - x^2$;

2) $y = 3x^2 - 6x + 1$;

3) $y = \sqrt{x - 2} - 3$;

4) $y = 5 - \sqrt{2x + 1}$;

5) $y = |x - 4| - 2$;

6) $y = 3 - |2x + 3|$;

7) $y = \begin{cases} (x - 1)^3, & \text{если } x \ge 0, \\ \frac{1}{x - 1}, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

8) $y = \begin{cases} -x^2 - 2x, & \text{если } x < 1, \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

1)Для нахождения точек пересечения графика функции $y = 3x - x^2$ с осью абсцисс (осью Ox), необходимо приравнять значение функции к нулю, то есть решить уравнение $y = 0$.

$3x - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = 0$

$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$

Следовательно, точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(3, 0)$.

2)Найдем точки пересечения функции $y = 3x^2 - 6x + 1$ с осью абсцисс. Для этого решим уравнение $y=0$:

$3x^2 - 6x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Корни уравнения: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Точки пересечения с осью абсцисс: $(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$.

Ответ: $(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$, $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$.

3)Найдем точки пересечения функции $y = \sqrt{x - 2} - 3$ с осью абсцисс. Приравниваем $y$ к нулю:

$\sqrt{x - 2} - 3 = 0$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Теперь решим уравнение:

$\sqrt{x - 2} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x - 2 = 3^2$

$x - 2 = 9$

$x = 11$

Полученное значение $x=11$ удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 2$).

Следовательно, точка пересечения с осью абсцисс: $(11, 0)$.

Ответ: $(11, 0)$.

4)Найдем точки пересечения функции $y = 5 - \sqrt{2x + 1}$ с осью абсцисс. Решим уравнение $y=0$:

$5 - \sqrt{2x + 1} = 0$

ОДЗ: $2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5$.

Решаем уравнение:

$\sqrt{2x + 1} = 5$

Возводим обе части в квадрат:

$2x + 1 = 5^2$

$2x + 1 = 25$

$2x = 24$

$x = 12$

Значение $x=12$ удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge -0.5$).

Точка пересечения: $(12, 0)$.

Ответ: $(12, 0)$.

5)Найдем точки пересечения функции $y = |x - 4| - 2$ с осью абсцисс, решив уравнение $y=0$:

$|x - 4| - 2 = 0$

$|x - 4| = 2$

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

1) $x - 4 = 2 \implies x_1 = 6$

2) $x - 4 = -2 \implies x_2 = 2$

Получаем две точки пересечения с осью абсцисс: $(2, 0)$ и $(6, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(6, 0)$.

6)Найдем точки пересечения функции $y = 3 - |2x + 3|$ с осью абсцисс. Решаем $y=0$:

$3 - |2x + 3| = 0$

$|2x + 3| = 3$

Раскроем модуль:

1) $2x + 3 = 3 \implies 2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $2x + 3 = -3 \implies 2x = -6 \implies x_2 = -3$

Точки пересечения: $(-3, 0)$ и $(0, 0)$.

Ответ: $(-3, 0)$, $(0, 0)$.

7)Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} (x-1)^3, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, нужно рассмотреть каждую часть функции отдельно.

1. Рассмотрим случай $x \ge 0$. Функция имеет вид $y = (x-1)^3$.

$(x-1)^3 = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$

Значение $x=1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, $(1, 0)$ является точкой пересечения.

2. Рассмотрим случай $x < 0$. Функция имеет вид $y = \frac{1}{x-1}$.

$\frac{1}{x-1} = 0$

Дробь равна нулю, только если ее числитель равен нулю. В данном случае числитель равен 1, поэтому это уравнение не имеет решений.

Таким образом, у функции есть только одна точка пересечения с осью абсцисс.

Ответ: $(1, 0)$.

8)Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} -x^2 - 2x, & \text{если } x < 1 \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$. Рассмотрим каждую часть функции.

1. Рассмотрим случай $x < 1$. Функция имеет вид $y = -x^2 - 2x$.

$-x^2 - 2x = 0$

$-x(x + 2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Проверим, удовлетворяют ли они условию $x < 1$:

$x_1 = 0$: $0 < 1$ (удовлетворяет).

$x_2 = -2$: $-2 < 1$ (удовлетворяет).

Значит, точки $(0, 0)$ и $(-2, 0)$ являются точками пересечения.

2. Рассмотрим случай $x \ge 1$. Функция имеет вид $y = -\frac{1}{x}$.

$-\frac{1}{x} = 0$

Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби не равен нулю.

Объединяя результаты, получаем две точки пересечения.

Ответ: $(-2, 0)$, $(0, 0)$.