Номер 1.37, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.37. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = x - 2;$

2) $y = 2 - 3x;$

3) $y = x^2 - 3x + 2;$

4) $y = -3x^2 + 5x - 2;$

5) $y = (3x - 10)(x + 6);$

6) $y = \frac{6 - x}{x}.$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции необходимо найти ее нули и область определения. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Эти точки, а также точки разрыва функции, разбивают числовую ось на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет свой знак (либо положительный, либо отрицательный). Знак можно определить, подставив любое значение из промежутка в функцию.

1) $y = x - 2$

Это линейная функция, определенная на всей числовой оси. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Точка $x = 2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке:

— При $x \in (-\infty; 2)$, например, при $x = 0$, получаем $y = 0 - 2 = -2$. Следовательно, $y < 0$ на этом промежутке.

— При $x \in (2; +\infty)$, например, при $x = 3$, получаем $y = 3 - 2 = 1$. Следовательно, $y > 0$ на этом промежутке.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 2)$.

2) $y = 2 - 3x$

Это линейная функция, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции:

$2 - 3x = 0$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Точка $x = \frac{2}{3}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке:

— При $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$, например, при $x = 0$, получаем $y = 2 - 3 \cdot 0 = 2$. Следовательно, $y > 0$ на этом промежутке.

— При $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$, например, при $x = 1$, получаем $y = 2 - 3 \cdot 1 = -1$. Следовательно, $y < 0$ на этом промежутке.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$; $y < 0$ при $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

3) $y = x^2 - 3x + 2$

Это квадратичная функция, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Найдем нули функции, решив квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$.

$x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$

$x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Нули функции $x=1$ и $x=2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна внутри этого интервала.

— $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

— $y < 0$ при $x \in (1; 2)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; 2)$.

4) $y = -3x^2 + 5x - 2$

Это квадратичная функция, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 + 5x - 2 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Нули функции $x=\frac{2}{3}$ и $x=1$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция отрицательна вне интервала между корнями и положительна внутри этого интервала.

— $y > 0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 1)$.

— $y < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

5) $y = (3x - 10)(x + 6)$

Это квадратичная функция, представленная в виде произведения. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Раскрыв скобки, получим $y = 3x^2 + 8x - 60$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

$3x - 10 = 0 \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3}$

$x + 6 = 0 \implies x = -6$

Нули функции $x=-6$ и $x=\frac{10}{3}$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -6)$, $(-6; \frac{10}{3})$ и $(\frac{10}{3}; +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна внутри этого интервала.

— $y > 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{10}{3}; +\infty)$.

— $y < 0$ при $x \in (-6; \frac{10}{3})$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{10}{3}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-6; \frac{10}{3})$.

6) $y = \frac{6 - x}{x}$

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции исключает значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем нули функции, приравняв числитель к нулю:

$6 - x = 0 \implies x = 6$

Точки, которые разбивают числовую ось на промежутки, — это нуль функции ($x=6$) и точка разрыва ($x=0$). Получаем промежутки: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке методом интервалов:

— При $x \in (-\infty; 0)$, например, при $x = -1$, получаем $y = \frac{6 - (-1)}{-1} = \frac{7}{-1} = -7$. Следовательно, $y < 0$ на этом промежутке.

— При $x \in (0; 6)$, например, при $x = 1$, получаем $y = \frac{6 - 1}{1} = \frac{5}{1} = 5$. Следовательно, $y > 0$ на этом промежутке.

— При $x \in (6; +\infty)$, например, при $x = 7$, получаем $y = \frac{6 - 7}{7} = \frac{-1}{7}$. Следовательно, $y < 0$ на этом промежутке.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 6)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.