Номер 1.30, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.30. Докажите непрерывность функции, в противном случае найдите точки разрыва:

1) $y = 2x^2 + x + 1;$

2) $y = 3 - x;$

3) $y = \frac{21x - 9}{3x - 1};$

4) $y = \frac{4x + 31}{x + 7};$

5) $y = \frac{x^3 + 8}{x + 2};$

6) $y = \frac{x^3 - 27}{x - 3};$

7) $y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 + 3x + 2};$

8) $y = \frac{(x^3 + 8)(x - 4)}{x^2 - 2x - 8}.$

1) $y = 2x^2 + x + 1$

Данная функция является многочленом (квадратичной функцией). Область определения многочлена — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Любой многочлен является непрерывной функцией на всей своей области определения. Следовательно, данная функция непрерывна на всей числовой оси и не имеет точек разрыва.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва нет.

2) $y = 3 - x$

Данная функция является многочленом (линейной функцией). Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция непрерывна на всей своей области определения, так как является элементарной функцией, определенной на всей числовой прямой. Следовательно, данная функция не имеет точек разрыва.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва нет.

3) $y = \frac{21x - 9}{3x - 1}$

Данная функция является рациональной. Она непрерывна на всей своей области определения. Точки разрыва могут существовать только в тех точках, где знаменатель обращается в ноль, так как в этих точках функция не определена.
Найдем эти точки:
$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}$.
Таким образом, $x = \frac{1}{3}$ является точкой разрыва. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этой точке:
$\lim_{x \to \frac{1}{3}+0} \frac{21x - 9}{3x - 1} = \frac{21(\frac{1}{3}) - 9}{+0} = \frac{7 - 9}{+0} = \frac{-2}{+0} = -\infty$.
$\lim_{x \to \frac{1}{3}-0} \frac{21x - 9}{3x - 1} = \frac{-2}{-0} = +\infty$.
Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, в точке $x = \frac{1}{3}$ функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$ — точка разрыва второго рода.

4) $y = \frac{4x + 31}{x + 7}$

Функция является рациональной. Точка разрыва — это точка, в которой знаменатель равен нулю:
$x + 7 = 0 \implies x = -7$.
Вычислим односторонние пределы в точке $x = -7$:
$\lim_{x \to -7+0} \frac{4x + 31}{x + 7} = \frac{4(-7) + 31}{-7+0 + 7} = \frac{-28 + 31}{+0} = \frac{3}{+0} = +\infty$.
$\lim_{x \to -7-0} \frac{4x + 31}{x + 7} = \frac{3}{-0} = -\infty$.
Так как пределы бесконечны, в точке $x = -7$ функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: $x = -7$ — точка разрыва второго рода.

5) $y = \frac{x^3 + 8}{x + 2}$

Функция является рациональной. Точка разрыва — это точка, в которой знаменатель равен нулю:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
Чтобы определить тип разрыва, найдем предел функции в этой точке. Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.
$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4) = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$.
Предел в точке $x = -2$ существует и конечен, но функция в этой точке не определена. Следовательно, в точке $x = -2$ функция имеет устранимый разрыв.

Ответ: $x = -2$ — точка устранимого разрыва.

6) $y = \frac{x^3 - 27}{x - 3}$

Функция является рациональной. Точка разрыва — это точка, в которой знаменатель равен нулю:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Найдем предел функции в этой точке. Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$.
$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2 + 3x + 9)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x^2 + 3x + 9) = 3^2 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$.
Предел в точке $x = 3$ существует и конечен. Следовательно, в точке $x = 3$ функция имеет устранимый разрыв.

Ответ: $x = 3$ — точка устранимого разрыва.

7) $y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 + 3x + 2}$

Функция является рациональной. Точки разрыва — это точки, в которых знаменатель равен нулю:
$x^2 + 3x + 2 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -2$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$.
Тогда $y = \frac{(x+2)^2}{(x+1)(x+2)}$.
Исследуем каждую точку разрыва:
1. Точка $x = -2$.
$\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)^2}{(x+1)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x+2}{x+1} = \frac{-2+2}{-2+1} = \frac{0}{-1} = 0$.
Предел существует и конечен, значит $x = -2$ — точка устранимого разрыва.
2. Точка $x = -1$.
Для исследования этой точки используем упрощенное выражение $y = \frac{x+2}{x+1}$ (при $x \neq -2$).
$\lim_{x \to -1+0} \frac{x+2}{x+1} = \frac{-1+2}{+0} = \frac{1}{+0} = +\infty$.
$\lim_{x \to -1-0} \frac{x+2}{x+1} = \frac{-1+2}{-0} = \frac{1}{-0} = -\infty$.
Пределы бесконечны, значит $x = -1$ — точка разрыва второго рода.

Ответ: $x = -2$ — точка устранимого разрыва, $x = -1$ — точка разрыва второго рода.

8) $y = \frac{(x^3 + 8)(x - 4)}{x^2 - 2x - 8}$

Функция является рациональной. Точки разрыва — это точки, в которых знаменатель равен нулю:
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $(x^3 + 8)(x-4) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-4)$.
Знаменатель: $x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$.
Тогда $y = \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-4)}{(x-4)(x+2)}$.
При $x \neq 4$ и $x \neq -2$ функцию можно сократить до $y = x^2 - 2x + 4$.
Исследуем каждую точку разрыва, вычисляя предел упрощенной функции:
1. Точка $x = -2$.
$\lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4) = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$.
Предел существует и конечен, значит $x = -2$ — точка устранимого разрыва.
2. Точка $x = 4$.
$\lim_{x \to 4} (x^2 - 2x + 4) = 4^2 - 2(4) + 4 = 16 - 8 + 4 = 12$.
Предел существует и конечен, значит $x = 4$ — точка устранимого разрыва.

Ответ: $x = -2$ и $x = 4$ — точки устранимого разрыва.