Номер 1.25, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5) В чем разница между функциями $\frac{f(x)}{g(x)}$ и $\varphi(x)=2x+1, x \in (-\infty; +\infty)$? Обоснуйте ответ.

1.25. На множестве целых чисел функция задана графическим способом (рис. 1.15). Задайте эту функцию несколькими способами аналитически.

Рис. 1.15

5) Вопрос в задании сформулирован не полностью, так как не даны определения функций $f(x)$ и $g(x)$. Однако, как правило, в подобных задачах рассматривается случай, когда частное $\frac{f(x)}{g(x)}$ после упрощения совпадает с выражением для $\phi(x)$, но имеет другую область определения.

Предположим, для примера, что $f(x) = 2x^2+x$ и $g(x) = x$. Тогда функция, являющаяся их частным, имеет вид $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{2x^2+x}{x}$.

Основное различие между функциями $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ и $\phi(x) = 2x+1$ заключается в их областях определения.

1. Область определения функции $\phi(x) = 2x+1$.
В условии дано, что $x \in (-\infty; +\infty)$, то есть областью определения функции $\phi(x)$ является множество всех действительных чисел, $D(\phi) = \mathbb{R}$. Эта функция определена для любого значения $x$.

2. Область определения функции $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.
Область определения частного двух функций состоит из всех тех значений $x$, для которых определены обе функции $f(x)$ и $g(x)$, и при этом знаменатель $g(x)$ не равен нулю. В нашем примере, $h(x) = \frac{2x^2+x}{x}$. Эта функция определена для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, область определения $D(h) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

При $x \neq 0$ мы можем упростить выражение для $h(x)$:
$h(x) = \frac{x(2x+1)}{x} = 2x+1$.

Таким образом, функции $h(x)$ и $\phi(x)$ совпадают для всех значений $x$, кроме $x=0$. В точке $x=0$ функция $\phi(x)$ определена и равна $\phi(0) = 2(0)+1=1$, в то время как функция $h(x)$ в этой точке не определена.

Две функции считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают области определения и для каждого значения аргумента из этой области значения функций равны. Поскольку области определения $D(h)$ и $D(\phi)$ не совпадают, функции не являются равными.

Графически, $\phi(x)$ представляет собой прямую линию. График $h(x)$ будет той же прямой линией, но с "выколотой" точкой при $x=0$, то есть с разрывом в точке $(0, 1)$.

Ответ: Основная разница между функциями заключается в их областях определения. Функция $\phi(x)=2x+1$ определена для всех действительных чисел $x$. Функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ не определена для тех значений $x$, при которых $g(x)=0$. Это означает, что даже если алгебраически выражение $\frac{f(x)}{g(x)}$ можно упростить до $2x+1$, эти функции не являются тождественно равными, так как их области определения различны.

1.25)

На рисунке 1.15 представлен график функции, заданной на множестве целых чисел.

Из графика видно, что функция $y(x)$ принимает следующие значения в целочисленных точках:
$y(-1) = 0$
$y(0) = 1$
$y(1) = 0$
Фраза "На множестве целых чисел функция задана" означает, что область определения функции - это множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$. Поскольку на графике для других целых значений $x$ (например, $x=2, x=-2$ и т.д.) точки не указаны, стандартно предполагается, что значение функции в этих точках равно нулю. Итак, $y(x) = 0$ для всех $x \in \mathbb{Z}$, кроме $x=0$.Зададим эту функцию несколькими аналитическими способами.

Способ 1. Кусочно-заданная функция
Это наиболее прямой способ описания функции, который точно отражает ее поведение:$y(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x = 0 \\ 0, & \text{если } x \in \mathbb{Z} \text{ и } x \neq 0 \end{cases}$

Способ 2. С помощью символа Кронекера
Функцию можно задать, используя стандартное математическое обозначение — символ Кронекера $\delta_{ij}$, который равен 1, если индексы равны ($i=j$), и 0, если индексы не равны ($i \neq j$).
$y(x) = \delta_{x,0}$, где $x \in \mathbb{Z}$.

Способ 3. С помощью единой формулы
Можно подобрать формулу, которая будет давать нужные значения для всех целых $x$. Например, с использованием возведения в степень, приняв по определению, что $0^0=1$:
$y(x) = 0^{|x|}$.
Проверим:
при $x=0$, $y(0) = 0^{|0|} = 0^0 = 1$.
при $x \neq 0$, $|x|$ является положительным целым числом, поэтому $y(x) = 0^{|x|} = 0$.

Альтернативная интерпретация
Если предположить, что область определения функции состоит только из тех целочисленных точек, что явно указаны на графике, то есть $D(y) = \{-1, 0, 1\}$, то можно предложить следующие аналитические формулы, которые верны на этой области определения:
1. С помощью многочлена: $y(x) = 1 - x^2$.
Проверка: $y(-1)=1-(-1)^2=0$; $y(0)=1-0^2=1$; $y(1)=1-1^2=0$.
2. С помощью модуля: $y(x) = 1 - |x|$.
Проверка: $y(-1)=1-|-1|=0$; $y(0)=1-|0|=1$; $y(1)=1-|1|=0$.
3. С помощью тригонометрической функции: $y(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$.
Проверка: $y(-1)=\cos(-\pi/2)=0$; $y(0)=\cos(0)=1$; $y(1)=\cos(\pi/2)=0$.

Ответ: В предположении, что область определения функции — все целые числа $\mathbb{Z}$, а значения для неуказанных на графике точек равны нулю, функцию можно задать аналитически следующими способами:
1. Кусочно: $y(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x = 0 \\ 0, & \text{если } x \in \mathbb{Z}, x \neq 0 \end{cases}$
2. С помощью символа Кронекера: $y(x) = \delta_{x,0}$
3. Формулой: $y(x) = 0^{|x|}$ (при условии $0^0=1$).