Номер 1.18, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.18. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ на множестве:

1) действительных чисел;

2) действительных неотрицательных чисел;

3) целых чисел;

4) натуральных чисел.

Для построения графиков функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ на различных множествах, сначала проанализируем саму функцию. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($1 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ординат (Oy), полагая $x=0$: $f(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.

С осью абсцисс (Ox), полагая $f(x)=0$: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Теперь построим графики для каждого из заданных множеств.

1) действительных чисел

Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Графиком является сплошная парабола, проходящая через вычисленные ключевые точки. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

Ответ: Графиком функции на множестве действительных чисел является парабола с вершиной в точке (2, -1), ветвями, направленными вверх, пересекающая ось абсцисс в точках (1, 0) и (3, 0), и ось ординат в точке (0, 3).

2) действительных неотрицательных чисел

Область определения — неотрицательные действительные числа ($x \ge 0$). Графиком является та часть параболы из пункта 1, которая расположена в правой полуплоскости, включая ось ординат. График начинается в точке (0, 3) и уходит вправо и вверх.

Ответ: Графиком функции на множестве действительных неотрицательных чисел является часть параболы, которая начинается в точке (0, 3) и продолжается вправо, проходя через вершину (2, -1) и точки пересечения с осью абсцисс (1, 0) и (3, 0).

3) целых чисел

Область определения — все целые числа ($x \in \mathbb{Z}$). Графиком будет не сплошная линия, а набор отдельных (изолированных) точек, которые лежат на параболе из пункта 1. Координаты этих точек — $(x, f(x))$, где $x$ — целое число.
Например:
$f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 8 \implies (-1, 8)$
$f(0) = 3 \implies (0, 3)$
$f(1) = 0 \implies (1, 0)$
$f(2) = -1 \implies (2, -1)$
$f(3) = 0 \implies (3, 0)$
$f(4) = 3 \implies (4, 3)$
$f(5) = 8 \implies (5, 8)$

Ответ: Графиком функции на множестве целых чисел является бесконечный набор изолированных точек, лежащих на параболе $y=x^2-4x+3$. Примеры точек: (..., (-1, 8), (0, 3), (1, 0), (2, -1), (3, 0), (4, 3), (5, 8), ...).

4) натуральных чисел

Область определения — натуральные числа ($x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$). Это подмножество целых чисел, поэтому график также будет состоять из изолированных точек, но только для $x \ge 1$.
Точки графика:
$f(1) = 0 \implies (1, 0)$
$f(2) = -1 \implies (2, -1)$
$f(3) = 0 \implies (3, 0)$
$f(4) = 3 \implies (4, 3)$
$f(5) = 8 \implies (5, 8)$
и так далее.

Ответ: Графиком функции на множестве натуральных чисел является бесконечный набор изолированных точек, лежащих на параболе $y=x^2-4x+3$ при $x \ge 1$. Примеры точек: ((1, 0), (2, -1), (3, 0), (4, 3), (5, 8), ...).