Номер 1.13, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.13. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{3x + 1}{x^2 - 3x + 2}$; 2) $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \frac{1}{\sqrt{3 - x}}$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3 + |x|}}$; 4) $f(x) = \sqrt{(1 - x)(1 + 5x)}$

5) $f(x) = \frac{x}{|x|}$; 6) $f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x}$.

1) Функция $f(x) = \frac{3x+1}{x^2-3x+2}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решив уравнение: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Разложим левую часть на множители: $(x-1)(x-2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $1$ и $2$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \frac{1}{\sqrt{3-x}}$ представляет собой сумму двух выражений. Область определения является пересечением областей определения каждого из слагаемых.
Для первого слагаемого $\sqrt{x^2 - 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$. Решая неравенство $(x-1)(x+1) \ge 0$, получаем $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Для второго слагаемого $\frac{1}{\sqrt{3-x}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $3 - x > 0$, откуда $x < 3$, то есть $x \in (-\infty; 3)$.
Теперь найдем пересечение этих двух множеств: $((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)) \cap (-\infty; 3)$.
Это соответствует множеству $(-\infty; -1] \cup [1; 3)$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -1] \cup [1; 3)$.

3) В функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3+|x|}}$ выражение под корнем находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным: $3 + |x| > 0$.
Поскольку модуль любого числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то сумма $3 + |x| \ge 3$.
Так как $3 > 0$, то неравенство $3 + |x| > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.
Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = \sqrt{(1-x)(1+5x)}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $(1-x)(1+5x) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни сомножителей: $1-x=0 \implies x=1$ и $1+5x=0 \implies x=-1/5$.
Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Знак произведения $(1-x)(1+5x)$ положителен на интервале между корнями, так как это парабола с ветвями вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-5$).
Таким образом, решение неравенства — это отрезок между корнями, включая сами корни, так как неравенство нестрогое.
Ответ: $D(f) = [-1/5; 1]$.

5) В функции $f(x) = \frac{x}{|x|}$ знаменатель не может быть равен нулю.
Условие для области определения: $|x| \ne 0$.
Это условие выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме нуля.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6) Функция $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$ является суммой двух корней. Область определения — это пересечение областей определения каждого из слагаемых. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1) $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
2) $4 - x \ge 0 \implies 4 \ge x \implies x \le 4$
Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство $2 \le x \le 4$.
Ответ: $D(f) = [2; 4]$.