Номер 1.11, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.11. Найдите область определения функции, заданной во множестве действительных чисел:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+1} + \frac{x+1}{x-1}$;

2) $g(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x+1}$;

3) $\varphi(x) = \sqrt{x+2}$;

4) $\psi(x) = \sqrt{|x|+2}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1} + \frac{x+1}{x-1}$ находится из условия, что знаменатели дробей не должны обращаться в ноль.
Для первой дроби знаменатель $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.
Для второй дроби знаменатель $x-1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, кроме $-1$ и $1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

2) Область определения функции $g(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x+1}$ определяется двумя условиями:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x-1 \geq 0$, откуда $x \geq 1$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Необходимо одновременное выполнение этих условий, что можно записать в виде системы:$\begin{cases}x \geq 1 \\x \neq -1\end{cases}$
Условие $x \neq -1$ автоматически выполняется, если $x \geq 1$. Таким образом, областью определения функции является множество всех чисел, больших или равных 1.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

3) Область определения функции $\varphi(x) = \sqrt{x+2}$ находится из условия, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.
Запишем и решим неравенство:
$x+2 \geq 0$
$x \geq -2$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные $-2$.
Ответ: $x \in [-2, +\infty)$.

4) Для функции $\psi(x) = \sqrt{|x|+2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $|x|+2 \geq 0$.
Модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной, т.е. $|x| \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, $|x|+2 \geq 0+2=2$.
Так как выражение $|x|+2$ всегда больше или равно 2, оно всегда положительно, и неравенство $|x|+2 \geq 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.