Номер 1.16, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.16. Постройте график функции:

1) $f(x) = 2x - 3$, $D(f) = [-1; 2]$;

2) $g(x) = x^2 - 6x + 5$, $D(g) = [0; 5]$;

3) $h(x) = \frac{2}{x-1}$, $D(h) = [-2; 1) \cup (1; 3]$ .

1) $f(x) = 2x - 3, D(f) = [-1; 2]$

Функция $f(x) = 2x - 3$ является линейной. Ее график — прямая линия. Поскольку область определения функции — отрезок $D(f) = [-1; 2]$, то графиком будет отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов. Для этого вычислим значения функции на границах области определения.

При $x = -1$:

$f(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$

Координаты первой точки: $(-1; -5)$.

При $x = 2$:

$f(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$

Координаты второй точки: $(2; 1)$.

Соединяем эти две точки отрезком. Так как концы отрезка $[-1; 2]$ входят в область определения, точки $(-1; -5)$ и $(2; 1)$ на графике будут закрашенными.

Ответ: График функции представляет собой отрезок, соединяющий точки $(-1; -5)$ и $(2; 1)$. График изображен на рисунке.

2) $g(x) = x^2 - 6x + 5, D(g) = [0; 5]$

Функция $g(x) = x^2 - 6x + 5$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Область определения — отрезок $D(g) = [0; 5]$.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

$y_в = g(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(3; -4)$. Координата $x_в = 3$ принадлежит области определения $[0; 5]$.

Найдем значения функции на концах отрезка области определения:

При $x = 0$: $g(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0; 5)$.

При $x = 5$: $g(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$. Точка $(5; 0)$.

Для большей точности найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции):

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Точки пересечения $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

Графиком является часть параболы, расположенная на отрезке $[0; 5]$.

Ответ: График функции представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(3; -4)$, ограниченную точками $(0; 5)$ и $(5; 0)$. График изображен на рисунке.

3) $h(x) = \frac{2}{x-1}, D(h) = [-2; 1) \cup (1; 3]$

Функция $h(x) = \frac{2}{x-1}$ является дробно-рациональной. Ее график — гипербола, полученная из графика функции $y = 2/x$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox. График имеет вертикальную асимптоту $x = 1$ (значение, при котором знаменатель равен нулю) и горизонтальную асимптоту $y = 0$.

Область определения $D(h) = [-2; 1) \cup (1; 3]$ состоит из двух промежутков, поэтому график будет состоять из двух частей.

Рассмотрим промежуток $[-2; 1)$:

На левой границе $x = -2$ значение функции: $h(-2) = \frac{2}{-2-1} = -\frac{2}{3}$. Точка $(-2; -2/3)$ принадлежит графику.

При приближении $x$ к 1 слева ($x \to 1-$), знаменатель $x-1$ стремится к 0, оставаясь отрицательным, поэтому $h(x) \to -\infty$.

Рассмотрим промежуток $(1; 3]$:

На правой границе $x = 3$ значение функции: $h(3) = \frac{2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$. Точка $(3; 1)$ принадлежит графику.

При приближении $x$ к 1 справа ($x \to 1+$), знаменатель $x-1$ стремится к 0, оставаясь положительным, поэтому $h(x) \to +\infty$.

Дополнительные точки для построения: $h(0) = -2$, $h(2) = 2$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей гиперболы. Первая ветвь на промежутке $[-2; 1)$ начинается в точке $(-2; -2/3)$ и уходит в $-\infty$ при $x \to 1-$. Вторая ветвь на промежутке $(1; 3]$ приходит из $+\infty$ при $x \to 1+$ и заканчивается в точке $(3; 1)$. График изображен на рисунке.