Номер 1.19, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.19. Решите предыдущую задачу для функции:

1) $y = 3x - 4$;

2) $y = |3x - 4|$;

3) $y = 2 + \frac{1}{x-1}$;

4) $y = |x^2 - 4x + 3|$.

Поскольку текст предыдущей задачи 1.18 не предоставлен, будем считать, что требуется провести полное исследование данных функций: найти область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, точки экстремума, область значений и построить график.

1) $y = 3x - 4$

Это линейная функция, ее график — прямая линия.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = 3(0) - 4 = -4$. Точка пересечения $(0; -4)$.

- С осью OX (y=0): $0 = 3x - 4 \implies 3x = 4 \implies x = 4/3$. Точка пересечения $(4/3; 0)$.

3. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ при $3x - 4 > 0 \implies x > 4/3$, то есть на интервале $(4/3; +\infty)$.

- $y < 0$ при $3x - 4 < 0 \implies x < 4/3$, то есть на интервале $(-\infty; 4/3)$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Найдем производную: $y' = (3x - 4)' = 3$.

Поскольку $y' = 3 > 0$ для всех $x$, функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.

5. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

6. График функции:

Ответ: Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$, нули функции $x=4/3$, функция возрастает на всей области определения, экстремумов нет.

2) $y = |3x - 4|$

График этой функции получается из графика $y = 3x - 4$ путем симметричного отражения относительно оси OX той части графика, которая лежит ниже этой оси.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = |3(0) - 4| = |-4| = 4$. Точка пересечения $(0; 4)$.

- С осью OX (y=0): $0 = |3x - 4| \implies 3x - 4 = 0 \implies x = 4/3$. Точка пересечения $(4/3; 0)$.

3. Промежутки знакопостоянства:

По определению модуля, $y \ge 0$ для всех $x$.

$y > 0$ при $x \neq 4/3$, то есть на $(-\infty; 4/3) \cup (4/3; +\infty)$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Раскроем модуль: $y = \begin{cases} 3x - 4, & x \ge 4/3 \\ -(3x - 4), & x < 4/3 \end{cases} = \begin{cases} 3x - 4, & x \ge 4/3 \\ -3x + 4, & x < 4/3 \end{cases}$

$y' = \begin{cases} 3, & x > 4/3 \\ -3, & x < 4/3 \end{cases}$

- При $x > 4/3$ функция возрастает ($y' > 0$).

- При $x < 4/3$ функция убывает ($y' < 0$).

В точке $x = 4/3$ производная не существует. Так как в этой точке убывание сменяется возрастанием, $x = 4/3$ является точкой минимума. $y_{min} = y(4/3) = 0$.

5. Область значений: Минимальное значение функции равно 0, максимального нет. $E(y) = [0; +\infty)$.

6. График функции:

Ответ: Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$, нули функции $x=4/3$, функция убывает на $(-\infty; 4/3]$ и возрастает на $[4/3; +\infty)$, точка минимума $x=4/3$, $y_{min}=0$.

3) $y = 2 + \frac{1}{x-1}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола, смещенная на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.

1. Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x=1$.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} (2 + \frac{1}{x-1}) = 2$. $y=2$.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = 2 + \frac{1}{0-1} = 2 - 1 = 1$. Точка пересечения $(0; 1)$.

- С осью OX (y=0): $0 = 2 + \frac{1}{x-1} \implies \frac{1}{x-1} = -2 \implies 1 = -2x+2 \implies 2x=1 \implies x=1/2$. Точка пересечения $(1/2; 0)$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Найдем производную: $y' = (2 + (x-1)^{-1})' = -(x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

Поскольку $(x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' < 0$ везде, где она определена. Функция убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точек экстремума нет.

5. Область значений: Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты. $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

6. График функции:

Ответ: Область определения $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$, область значений $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$, нули функции $x=1/2$, функция убывает на $(-\infty; 1)$ и на $(1; +\infty)$, экстремумов нет, асимптоты $x=1$ и $y=2$.

4) $y = |x^2 - 4x + 3|$

Сначала исследуем параболу $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх.

Нули: $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3)=0 \implies x_1=1, x_2=3$.

Вершина: $x_v = -b/(2a) = 4/2 = 2$. $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(2; -1)$.

График $y=|x^2-4x+3|$ получается отражением части параболы, лежащей ниже оси OX (на интервале (1; 3)), симметрично относительно этой оси.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = |0^2 - 4(0) + 3| = 3$. Точка пересечения $(0; 3)$.

- С осью OX (y=0): $|x^2 - 4x + 3| = 0 \implies x=1, x=3$. Точки пересечения $(1; 0)$ и $(3; 0)$.

3. Промежутки знакопостоянства: $y \ge 0$ для всех $x$. $y > 0$ при $x \notin \{1, 3\}$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Раскроем модуль: $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \\ -x^2 + 4x - 3, & x \in (1, 3) \end{cases}$

$y' = \begin{cases} 2x - 4, & x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \\ -2x + 4, & x \in (1, 3) \end{cases}$

- На $(-\infty; 1)$: $y' = 2x - 4 < 0$, функция убывает.

- На $(1; 3)$: $y' = -2x+4$. $y'=0$ при $x=2$. На $(1, 2)$ $y'>0$ (возрастает), на $(2, 3)$ $y'<0$ (убывает).

- На $(3; \infty)$: $y' = 2x-4 > 0$, функция возрастает.

- Точки экстремума: $x=1$: минимум (убывание сменяется возрастанием), $y(1)=0$. $x=2$: максимум (возрастание сменяется убыванием), $y(2)=|2^2 - 8 + 3|=|-1|=1$. $x=3$: минимум (убывание сменяется возрастанием), $y(3)=0$.

5. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

6. График функции:

Ответ: Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$, нули функции $x=1, x=3$, функция убывает на $(-\infty; 1] \cup [2; 3]$ и возрастает на $[1; 2] \cup [3; \infty)$, точки минимума $(1;0)$ и $(3;0)$, точка локального максимума $(2;1)$.