Номер 1.22, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.22. На рисунке 1.14 функции заданы графическим способом. Задайте их аналитическим способом.

1) $y = ||x|-1|$

2) $y = |x^2-1|$

Рис. 1.14

1) Проанализируем график функции. Он состоит из четырех линейных участков и симметричен относительно оси $Oy$. Это наводит на мысль об использовании модуля.

Рассмотрим базовую функцию $y=|x|$. Ее график — «галочка» с вершиной в точке $(0,0)$.
График функции $y=|x|-1$ получается сдвигом графика $y=|x|$ на одну единицу вниз. Вершина оказывается в точке $(0,-1)$, а нули функции — в точках $x=-1$ и $x=1$.
Если теперь взять модуль от этой функции, т.е. $y=||x|-1||$, то часть графика, которая была ниже оси $Ox$ (на интервале $(-1, 1)$), отразится симметрично относительно этой оси.

Давайте проверим эту гипотезу:

• При $|x| \ge 1$ (т.е. $x \ge 1$ или $x \le -1$), имеем $|x|-1 \ge 0$, поэтому $y=||x|-1|| = |x|-1$.
  • Для $x \ge 1$, $y=x-1$. Например, в точке $x=2$ получаем $y=2-1=1$. Это соответствует графику.
  • Для $x \le -1$, $y=-x-1$. Например, в точке $x=-2$ получаем $y=-(-2)-1=1$. Это также соответствует графику.
• При $|x| < 1$ (т.е. $-1 < x < 1$), имеем $|x|-1 < 0$, поэтому $y=||x|-1|| = -(|x|-1) = 1-|x|$.
  • Для $x \in [0, 1)$, $y=1-x$. В точке $x=0$ получаем $y=1$. В точке $x=1$ получаем $y=0$.
  • Для $x \in (-1, 0)$, $y=1-(-x)=1+x$. В точке $x=-1$ получаем $y=0$.

Все значения совпадают с точками на графике: $(-2,1)$, $(-1,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$, $(2,1)$. Таким образом, аналитическое выражение для данной функции — $y=||x|-1||$.

Ответ: $y = ||x|-1||$.

2) График этой функции также симметричен относительно оси $Oy$, что указывает на четность функции. Он состоит из трех участков, каждый из которых похож на параболу.

Рассмотрим центральный участок на интервале $x \in [-1, 1]$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, вершиной в точке $(0,1)$ и пересечениями с осью $Ox$ в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$. Уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y=a(x-h)^2+k$. Подставляя $(h,k)=(0,1)$, получаем $y=ax^2+1$. Используем точку $(1,0)$ для нахождения коэффициента $a$: $0=a(1)^2+1$, откуда $a=-1$. Итак, на отрезке $[-1, 1]$ функция задается формулой $y=1-x^2$.

Рассмотрим внешние участки при $|x| \ge 1$. Это две параболы с ветвями вверх.

• Для $x \ge 1$ вершина параболы находится в точке $(1,0)$. Ее уравнение имеет вид $y=a(x-1)^2$.
• Для $x \le -1$ вершина параболы находится в точке $(-1,0)$. Ее уравнение имеет вид $y=a(x+1)^2$. Из-за симметрии коэффициент $a$ будет таким же.

Для определения коэффициента $a$ воспользуемся информацией с графика. Пунктирные линии показывают, что в точках $x=2$ и $x=-2$ функция принимает одинаковое значение. Оценим это значение визуально. Если высота от $0$ до $1$ на оси $Oy$ является единицей, то значение функции в точке $x=2$ выглядит как $y=3$.
Подставим точку $(2,3)$ в уравнение для правой параболы: $3=a(2-1)^2$, откуда $a=3$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} 3(x+1)^2, & \text{если } x \le -1 \\ 1-x^2, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 3(x-1)^2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 3(x+1)^2, & x \le -1 \\ 1-x^2, & -1 < x < 1 \\ 3(x-1)^2, & x \ge 1 \end{cases}$