Номер 1.21, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.21. Являются ли равными функции $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$ и $g(x) = \sqrt{x(x-1)}$, если они заданы на множестве:

1) действительных чисел;

2) действительных неотрицательных чисел;

3) целых чисел;

4) натуральных чисел?

Две функции $f(x)$ и $g(x)$ называются равными, если они удовлетворяют двум условиям:
1. Их области определения совпадают, то есть $D(f) = D(g)$.
2. Для любого значения $x$ из их общей области определения выполняется равенство $f(x) = g(x)$.

Рассмотрим функции $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$ и $g(x) = \sqrt{x(x-1)}$.

Сначала найдем их естественные области определения.
Для функции $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$ подкоренные выражения должны быть неотрицательными, поэтому должны одновременно выполняться два условия: $x \ge 0$ и $x-1 \ge 0$. Решением этой системы неравенств является $x \ge 1$. Таким образом, область определения функции $f(x)$ есть множество $D(f) = [1, +\infty)$.

Для функции $g(x) = \sqrt{x(x-1)}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x(x-1) \ge 0$. Решая это неравенство (например, методом интервалов), получаем, что оно выполняется при $x \le 0$ или $x \ge 1$. Таким образом, область определения функции $g(x)$ есть множество $D(g) = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Поскольку естественные области определения функций не совпадают ($D(f) \neq D(g)$), в общем случае эти функции не являются равными. Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) действительных чисел;
На множестве действительных чисел ($\mathbb{R}$) области определения функций совпадают с их естественными областями определения: $D(f) = [1, +\infty)$ и $D(g) = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$. Поскольку $D(f) \neq D(g)$, первое условие равенства функций не выполняется. Например, значение $x=-2$ входит в область определения функции $g(x)$, но не входит в область определения функции $f(x)$.
Ответ: нет, функции не являются равными на множестве действительных чисел.

2) действительных неотрицательных чисел;
Рассмотрим функции на множестве $X = [0, +\infty)$.
Область определения $f(x)$ на этом множестве: $D_X(f) = D(f) \cap X = [1, +\infty) \cap [0, +\infty) = [1, +\infty)$.
Область определения $g(x)$ на этом множестве: $D_X(g) = D(g) \cap X = ((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)) \cap [0, +\infty) = \{0\} \cup [1, +\infty)$.
Области определения на заданном множестве не совпадают ($D_X(f) \neq D_X(g)$), так как точка $x=0$ принадлежит $D_X(g)$, но не принадлежит $D_X(f)$.
Ответ: нет, функции не являются равными на множестве действительных неотрицательных чисел.

3) целых чисел;
Рассмотрим функции на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$.
Область определения $f(x)$ на этом множестве: $D_{\mathbb{Z}}(f) = D(f) \cap \mathbb{Z} = [1, +\infty) \cap \mathbb{Z} = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N}$.
Область определения $g(x)$ на этом множестве: $D_{\mathbb{Z}}(g) = D(g) \cap \mathbb{Z} = ((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)) \cap \mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0\} \cup \{1, 2, 3, \dots\}$.
Области определения не совпадают, так как, например, $0 \in D_{\mathbb{Z}}(g)$, а $0 \notin D_{\mathbb{Z}}(f)$.
Ответ: нет, функции не являются равными на множестве целых чисел.

4) натуральных чисел?
Рассмотрим функции на множестве натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.
Область определения $f(x)$ на этом множестве: $D_{\mathbb{N}}(f) = D(f) \cap \mathbb{N} = [1, +\infty) \cap \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N}$.
Область определения $g(x)$ на этом множестве: $D_{\mathbb{N}}(g) = D(g) \cap \mathbb{N} = ((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)) \cap \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N}$.
На множестве натуральных чисел области определения функций совпадают: $D_{\mathbb{N}}(f) = D_{\mathbb{N}}(g) = \mathbb{N}$. Первое условие выполнено.
Проверим второе условие: $f(x) = g(x)$ для всех $x \in \mathbb{N}$. Для любого натурального $x$ справедливо $x \ge 1$, а значит $x > 0$ и $x-1 \ge 0$. Так как оба множителя под корнями в функции $f(x)$ неотрицательны, можно применить свойство $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
Следовательно, для всех $x \in \mathbb{N}$ имеем: $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1} = \sqrt{x(x-1)} = g(x)$.
Второе условие также выполняется.
Ответ: да, функции являются равными на множестве натуральных чисел.