Страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.21. Являются ли равными функции $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$ и $g(x) = \sqrt{x(x-1)}$, если они заданы на множестве:

1) действительных чисел;

2) действительных неотрицательных чисел;

3) целых чисел;

4) натуральных чисел?

Две функции $f(x)$ и $g(x)$ называются равными, если они удовлетворяют двум условиям:
1. Их области определения совпадают, то есть $D(f) = D(g)$.
2. Для любого значения $x$ из их общей области определения выполняется равенство $f(x) = g(x)$.

Рассмотрим функции $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$ и $g(x) = \sqrt{x(x-1)}$.

Сначала найдем их естественные области определения.
Для функции $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$ подкоренные выражения должны быть неотрицательными, поэтому должны одновременно выполняться два условия: $x \ge 0$ и $x-1 \ge 0$. Решением этой системы неравенств является $x \ge 1$. Таким образом, область определения функции $f(x)$ есть множество $D(f) = [1, +\infty)$.

Для функции $g(x) = \sqrt{x(x-1)}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x(x-1) \ge 0$. Решая это неравенство (например, методом интервалов), получаем, что оно выполняется при $x \le 0$ или $x \ge 1$. Таким образом, область определения функции $g(x)$ есть множество $D(g) = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Поскольку естественные области определения функций не совпадают ($D(f) \neq D(g)$), в общем случае эти функции не являются равными. Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) действительных чисел;
На множестве действительных чисел ($\mathbb{R}$) области определения функций совпадают с их естественными областями определения: $D(f) = [1, +\infty)$ и $D(g) = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$. Поскольку $D(f) \neq D(g)$, первое условие равенства функций не выполняется. Например, значение $x=-2$ входит в область определения функции $g(x)$, но не входит в область определения функции $f(x)$.
Ответ: нет, функции не являются равными на множестве действительных чисел.

2) действительных неотрицательных чисел;
Рассмотрим функции на множестве $X = [0, +\infty)$.
Область определения $f(x)$ на этом множестве: $D_X(f) = D(f) \cap X = [1, +\infty) \cap [0, +\infty) = [1, +\infty)$.
Область определения $g(x)$ на этом множестве: $D_X(g) = D(g) \cap X = ((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)) \cap [0, +\infty) = \{0\} \cup [1, +\infty)$.
Области определения на заданном множестве не совпадают ($D_X(f) \neq D_X(g)$), так как точка $x=0$ принадлежит $D_X(g)$, но не принадлежит $D_X(f)$.
Ответ: нет, функции не являются равными на множестве действительных неотрицательных чисел.

3) целых чисел;
Рассмотрим функции на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$.
Область определения $f(x)$ на этом множестве: $D_{\mathbb{Z}}(f) = D(f) \cap \mathbb{Z} = [1, +\infty) \cap \mathbb{Z} = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N}$.
Область определения $g(x)$ на этом множестве: $D_{\mathbb{Z}}(g) = D(g) \cap \mathbb{Z} = ((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)) \cap \mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0\} \cup \{1, 2, 3, \dots\}$.
Области определения не совпадают, так как, например, $0 \in D_{\mathbb{Z}}(g)$, а $0 \notin D_{\mathbb{Z}}(f)$.
Ответ: нет, функции не являются равными на множестве целых чисел.

4) натуральных чисел?
Рассмотрим функции на множестве натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.
Область определения $f(x)$ на этом множестве: $D_{\mathbb{N}}(f) = D(f) \cap \mathbb{N} = [1, +\infty) \cap \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N}$.
Область определения $g(x)$ на этом множестве: $D_{\mathbb{N}}(g) = D(g) \cap \mathbb{N} = ((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)) \cap \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N}$.
На множестве натуральных чисел области определения функций совпадают: $D_{\mathbb{N}}(f) = D_{\mathbb{N}}(g) = \mathbb{N}$. Первое условие выполнено.
Проверим второе условие: $f(x) = g(x)$ для всех $x \in \mathbb{N}$. Для любого натурального $x$ справедливо $x \ge 1$, а значит $x > 0$ и $x-1 \ge 0$. Так как оба множителя под корнями в функции $f(x)$ неотрицательны, можно применить свойство $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
Следовательно, для всех $x \in \mathbb{N}$ имеем: $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1} = \sqrt{x(x-1)} = g(x)$.
Второе условие также выполняется.
Ответ: да, функции являются равными на множестве натуральных чисел.

1.22. На рисунке 1.14 функции заданы графическим способом. Задайте их аналитическим способом.

1) $y = ||x|-1|$

2) $y = |x^2-1|$

Рис. 1.14

1) Проанализируем график функции. Он состоит из четырех линейных участков и симметричен относительно оси $Oy$. Это наводит на мысль об использовании модуля.

Рассмотрим базовую функцию $y=|x|$. Ее график — «галочка» с вершиной в точке $(0,0)$.
График функции $y=|x|-1$ получается сдвигом графика $y=|x|$ на одну единицу вниз. Вершина оказывается в точке $(0,-1)$, а нули функции — в точках $x=-1$ и $x=1$.
Если теперь взять модуль от этой функции, т.е. $y=||x|-1||$, то часть графика, которая была ниже оси $Ox$ (на интервале $(-1, 1)$), отразится симметрично относительно этой оси.

Давайте проверим эту гипотезу:

• При $|x| \ge 1$ (т.е. $x \ge 1$ или $x \le -1$), имеем $|x|-1 \ge 0$, поэтому $y=||x|-1|| = |x|-1$.
  • Для $x \ge 1$, $y=x-1$. Например, в точке $x=2$ получаем $y=2-1=1$. Это соответствует графику.
  • Для $x \le -1$, $y=-x-1$. Например, в точке $x=-2$ получаем $y=-(-2)-1=1$. Это также соответствует графику.
• При $|x| < 1$ (т.е. $-1 < x < 1$), имеем $|x|-1 < 0$, поэтому $y=||x|-1|| = -(|x|-1) = 1-|x|$.
  • Для $x \in [0, 1)$, $y=1-x$. В точке $x=0$ получаем $y=1$. В точке $x=1$ получаем $y=0$.
  • Для $x \in (-1, 0)$, $y=1-(-x)=1+x$. В точке $x=-1$ получаем $y=0$.

Все значения совпадают с точками на графике: $(-2,1)$, $(-1,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$, $(2,1)$. Таким образом, аналитическое выражение для данной функции — $y=||x|-1||$.

Ответ: $y = ||x|-1||$.

2) График этой функции также симметричен относительно оси $Oy$, что указывает на четность функции. Он состоит из трех участков, каждый из которых похож на параболу.

Рассмотрим центральный участок на интервале $x \in [-1, 1]$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, вершиной в точке $(0,1)$ и пересечениями с осью $Ox$ в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$. Уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y=a(x-h)^2+k$. Подставляя $(h,k)=(0,1)$, получаем $y=ax^2+1$. Используем точку $(1,0)$ для нахождения коэффициента $a$: $0=a(1)^2+1$, откуда $a=-1$. Итак, на отрезке $[-1, 1]$ функция задается формулой $y=1-x^2$.

Рассмотрим внешние участки при $|x| \ge 1$. Это две параболы с ветвями вверх.

• Для $x \ge 1$ вершина параболы находится в точке $(1,0)$. Ее уравнение имеет вид $y=a(x-1)^2$.
• Для $x \le -1$ вершина параболы находится в точке $(-1,0)$. Ее уравнение имеет вид $y=a(x+1)^2$. Из-за симметрии коэффициент $a$ будет таким же.

Для определения коэффициента $a$ воспользуемся информацией с графика. Пунктирные линии показывают, что в точках $x=2$ и $x=-2$ функция принимает одинаковое значение. Оценим это значение визуально. Если высота от $0$ до $1$ на оси $Oy$ является единицей, то значение функции в точке $x=2$ выглядит как $y=3$.
Подставим точку $(2,3)$ в уравнение для правой параболы: $3=a(2-1)^2$, откуда $a=3$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} 3(x+1)^2, & \text{если } x \le -1 \\ 1-x^2, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 3(x-1)^2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 3(x+1)^2, & x \le -1 \\ 1-x^2, & -1 < x < 1 \\ 3(x-1)^2, & x \ge 1 \end{cases}$

1.23. Дана функция $f(x) = \begin{cases} 1, \text{ если } x > 1, \\ -1, \text{ если } x < 1. \end{cases}$

Задайте эту функцию одной формулой и постройте ее график.

Задание функции одной формулой

Дана кусочно-заданная функция: $$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 1, \\ -1, & \text{если } x < 1. \end{cases}$$ Необходимо представить эту функцию в виде единой формулы.

Заметим, что значение функции зависит от знака выражения $x-1$. Если $x-1 > 0$ (то есть $x>1$), то $f(x)=1$. Если $x-1 < 0$ (то есть $x<1$), то $f(x)=-1$.

Такое поведение характерно для функции "знак" (signum), которая обозначается как $\text{sgn}(t)$. Эта функция равна $1$ для $t>0$ и $-1$ для $t<0$. В нашем случае аргументом функции знака является $t = x-1$. Таким образом, $f(x) = \text{sgn}(x-1)$.

Функцию знака можно выразить через модуль (абсолютную величину) по формуле $\text{sgn}(t) = \frac{|t|}{t}$, которая определена для всех $t \ne 0$. Подставив $t = x-1$, получаем искомую формулу: $$f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$$ Эта формула определена для всех $x$, для которых знаменатель не равен нулю, то есть для $x-1 \ne 0$, или $x \ne 1$. Это в точности совпадает с областью определения исходной функции.

Ответ: $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$

Построение графика

График функции $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$ состоит из двух горизонтальных лучей. Для $x > 1$ функция равна $y=1$, а для $x < 1$ функция равна $y=-1$. Точка $x=1$ не входит в область определения, поэтому на графике концы лучей в точках с абсциссой $x=1$ изображаются в виде выколотых (пустых) кружков. Это точки $(1, 1)$ и $(1, -1)$.

Ответ: График функции построен выше.

1.24. Даны функции $f(x) = (2x + 1)\sqrt{4 - x}$ и $g(x) = \sqrt{4 - x}$, $x \in (-\infty; 4]$.

Найдите область определения функции:

1) $f(x) \cdot g(x);$

2) $\frac{f(x)}{g(x)};$

3) $\frac{g(x)}{f(x)}.$

4) В чем разница между функциями $f(x) \cdot g(x)$ и $h(x) = 4 + 7x - x^2$, $x \in (-\infty; +\infty)$? Обоснуйте ответ.

5) В чем разница между функциями $\frac{f(x)}{g(x)}$ и $\varphi(x)=2x+1, x \in (-\infty; +\infty)$? Обоснуйте ответ.

Даны функции $f(x) = (2x + 1)\sqrt{4 - x}$ и $g(x) = \sqrt{4 - x}$.
Для нахождения областей определения ($D$) сначала определим области определения исходных функций.
Для обеих функций подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4 - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 4$.
Таким образом, область определения для обеих функций: $D(f) = (-\infty, 4]$ и $D(g) = (-\infty, 4]$.

1) f(x) · g(x)
Область определения произведения двух функций есть пересечение их областей определения: $D(f \cdot g) = D(f) \cap D(g)$.
Поскольку $D(f) = (-\infty, 4]$ и $D(g) = (-\infty, 4]$, их пересечение также будет $(-\infty, 4]$.
$D(f \cdot g) = (-\infty, 4] \cap (-\infty, 4] = (-\infty, 4]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 4]$.

2) f(x)/g(x)
Область определения частного двух функций есть пересечение их областей определения, из которого исключены все значения аргумента, при которых знаменатель равен нулю.
$D(\frac{f}{g}) = \{x \in D(f) \cap D(g) | g(x) \neq 0 \}$.
Пересечение областей определения $D(f) \cap D(g) = (-\infty, 4]$.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель $g(x)$ равен нулю:
$g(x) = \sqrt{4 - x} = 0$
$4 - x = 0$
$x = 4$
Исключим это значение из множества $(-\infty, 4]$. Получаем интервал $(-\infty, 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 4)$.

3) g(x)/f(x)
Область определения частного $\frac{g(x)}{f(x)}$ есть пересечение областей определения $D(g)$ и $D(f)$, из которого исключены значения $x$, при которых знаменатель $f(x)$ обращается в ноль.
$D(\frac{g}{f}) = \{x \in D(g) \cap D(f) | f(x) \neq 0 \}$.
Пересечение областей определения $D(g) \cap D(f) = (-\infty, 4]$.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель $f(x)$ равен нулю:
$f(x) = (2x + 1)\sqrt{4 - x} = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2x + 1 = 0$ или $\sqrt{4 - x} = 0$.
Из первого уравнения получаем $x = -0.5$.
Из второго уравнения получаем $x = 4$.
Оба этих значения входят в промежуток $(-\infty, 4]$, и их необходимо исключить.
Таким образом, область определения функции $\frac{g(x)}{f(x)}$ есть $(-\infty, -0.5) \cup (-0.5, 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -0.5) \cup (-0.5, 4)$.

4) В чем разница между функциями f(x) · g(x) и h(x) = 4 + 7x - x², x∈(-∞; +∞)? Обоснуйте ответ.
Найдем аналитическое выражение для функции $y(x) = f(x) \cdot g(x)$:
$y(x) = (2x + 1)\sqrt{4 - x} \cdot \sqrt{4 - x} = (2x + 1)(4 - x)$.
Раскроем скобки: $y(x) = 8x - 2x^2 + 4 - x = -2x^2 + 7x + 4$.
Область определения этой функции, как мы нашли в пункте 1, есть $D(y) = (-\infty, 4]$.
Вторая функция задана как $h(x) = 4 + 7x - x^2$ с областью определения $D(h) = (-\infty, +\infty)$.
Разница между этими функциями заключается в следующем:
1. Разные аналитические выражения: $y(x) = -2x^2 + 7x + 4$, а $h(x) = -x^2 + 7x + 4$. Коэффициенты при $x^2$ различны ($-2$ и $-1$).
2. Разные области определения: область определения $f(x) \cdot g(x)$ — это луч $(-\infty, 4]$, в то время как область определения $h(x)$ — вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.
Две функции считаются равными, если у них совпадают области определения и на этой общей области определения их значения равны для любого аргумента. В данном случае функции различны.
Примечание: Вероятно, в условии задачи имеется опечатка, и функция $h(x)$ должна была быть $h(x) = 4 + 7x - 2x^2$. Даже в этом случае, несмотря на совпадение аналитических выражений, функции не были бы равны из-за различных областей определения.
Ответ: Функции отличаются как своим аналитическим видом ($f(x) \cdot g(x) = -2x^2 + 7x + 4$, а $h(x) = -x^2 + 7x + 4$), так и областями определения ($(-\infty, 4]$ для $f(x) \cdot g(x)$ и $(-\infty, +\infty)$ для $h(x)$).

5) В чем разница между функциями f(x)/g(x) и φ(x) = 2x + 1, x∈(-∞; +∞)? Обоснуйте ответ.
Найдем аналитическое выражение для функции $y(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$:
$y(x) = \frac{(2x + 1)\sqrt{4 - x}}{\sqrt{4 - x}}$.
При условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sqrt{4-x} \neq 0 \implies x \neq 4$, мы можем сократить дробь:
$y(x) = 2x + 1$.
Область определения этой функции, как мы нашли в пункте 2, есть $D(y) = (-\infty, 4)$.
Вторая функция задана как $\phi(x) = 2x + 1$ с областью определения $D(\phi) = (-\infty, +\infty)$.
Сравним эти две функции. Аналитические выражения у них совпадают ($2x+1$), но области определения различны. У функции $\frac{f(x)}{g(x)}$ область определения $(-\infty, 4)$, а у функции $\phi(x)$ — $(-\infty, +\infty)$.
Две функции считаются равными только в том случае, если у них совпадают области определения и правила, по которым вычисляются их значения. Поскольку области определения функций не совпадают, эти функции не равны. Функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ является сужением функции $\phi(x)$ на интервал $(-\infty, 4)$.
Ответ: Функции имеют одинаковое аналитическое выражение ($2x+1$), но разные области определения: $(-\infty, 4)$ для $\frac{f(x)}{g(x)}$ и $(-\infty, +\infty)$ для $\phi(x)$. Следовательно, функции не являются равными.

5) В чем разница между функциями $\frac{f(x)}{g(x)}$ и $\varphi(x)=2x+1, x \in (-\infty; +\infty)$? Обоснуйте ответ.

1.25. На множестве целых чисел функция задана графическим способом (рис. 1.15). Задайте эту функцию несколькими способами аналитически.

Рис. 1.15

5) Вопрос в задании сформулирован не полностью, так как не даны определения функций $f(x)$ и $g(x)$. Однако, как правило, в подобных задачах рассматривается случай, когда частное $\frac{f(x)}{g(x)}$ после упрощения совпадает с выражением для $\phi(x)$, но имеет другую область определения.

Предположим, для примера, что $f(x) = 2x^2+x$ и $g(x) = x$. Тогда функция, являющаяся их частным, имеет вид $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{2x^2+x}{x}$.

Основное различие между функциями $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ и $\phi(x) = 2x+1$ заключается в их областях определения.

1. Область определения функции $\phi(x) = 2x+1$.
В условии дано, что $x \in (-\infty; +\infty)$, то есть областью определения функции $\phi(x)$ является множество всех действительных чисел, $D(\phi) = \mathbb{R}$. Эта функция определена для любого значения $x$.

2. Область определения функции $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.
Область определения частного двух функций состоит из всех тех значений $x$, для которых определены обе функции $f(x)$ и $g(x)$, и при этом знаменатель $g(x)$ не равен нулю. В нашем примере, $h(x) = \frac{2x^2+x}{x}$. Эта функция определена для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, область определения $D(h) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

При $x \neq 0$ мы можем упростить выражение для $h(x)$:
$h(x) = \frac{x(2x+1)}{x} = 2x+1$.

Таким образом, функции $h(x)$ и $\phi(x)$ совпадают для всех значений $x$, кроме $x=0$. В точке $x=0$ функция $\phi(x)$ определена и равна $\phi(0) = 2(0)+1=1$, в то время как функция $h(x)$ в этой точке не определена.

Две функции считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают области определения и для каждого значения аргумента из этой области значения функций равны. Поскольку области определения $D(h)$ и $D(\phi)$ не совпадают, функции не являются равными.

Графически, $\phi(x)$ представляет собой прямую линию. График $h(x)$ будет той же прямой линией, но с "выколотой" точкой при $x=0$, то есть с разрывом в точке $(0, 1)$.

Ответ: Основная разница между функциями заключается в их областях определения. Функция $\phi(x)=2x+1$ определена для всех действительных чисел $x$. Функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ не определена для тех значений $x$, при которых $g(x)=0$. Это означает, что даже если алгебраически выражение $\frac{f(x)}{g(x)}$ можно упростить до $2x+1$, эти функции не являются тождественно равными, так как их области определения различны.

1.25)

На рисунке 1.15 представлен график функции, заданной на множестве целых чисел.

Из графика видно, что функция $y(x)$ принимает следующие значения в целочисленных точках:
$y(-1) = 0$
$y(0) = 1$
$y(1) = 0$
Фраза "На множестве целых чисел функция задана" означает, что область определения функции - это множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$. Поскольку на графике для других целых значений $x$ (например, $x=2, x=-2$ и т.д.) точки не указаны, стандартно предполагается, что значение функции в этих точках равно нулю. Итак, $y(x) = 0$ для всех $x \in \mathbb{Z}$, кроме $x=0$.Зададим эту функцию несколькими аналитическими способами.

Способ 1. Кусочно-заданная функция
Это наиболее прямой способ описания функции, который точно отражает ее поведение:$y(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x = 0 \\ 0, & \text{если } x \in \mathbb{Z} \text{ и } x \neq 0 \end{cases}$

Способ 2. С помощью символа Кронекера
Функцию можно задать, используя стандартное математическое обозначение — символ Кронекера $\delta_{ij}$, который равен 1, если индексы равны ($i=j$), и 0, если индексы не равны ($i \neq j$).
$y(x) = \delta_{x,0}$, где $x \in \mathbb{Z}$.

Способ 3. С помощью единой формулы
Можно подобрать формулу, которая будет давать нужные значения для всех целых $x$. Например, с использованием возведения в степень, приняв по определению, что $0^0=1$:
$y(x) = 0^{|x|}$.
Проверим:
при $x=0$, $y(0) = 0^{|0|} = 0^0 = 1$.
при $x \neq 0$, $|x|$ является положительным целым числом, поэтому $y(x) = 0^{|x|} = 0$.

Альтернативная интерпретация
Если предположить, что область определения функции состоит только из тех целочисленных точек, что явно указаны на графике, то есть $D(y) = \{-1, 0, 1\}$, то можно предложить следующие аналитические формулы, которые верны на этой области определения:
1. С помощью многочлена: $y(x) = 1 - x^2$.
Проверка: $y(-1)=1-(-1)^2=0$; $y(0)=1-0^2=1$; $y(1)=1-1^2=0$.
2. С помощью модуля: $y(x) = 1 - |x|$.
Проверка: $y(-1)=1-|-1|=0$; $y(0)=1-|0|=1$; $y(1)=1-|1|=0$.
3. С помощью тригонометрической функции: $y(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$.
Проверка: $y(-1)=\cos(-\pi/2)=0$; $y(0)=\cos(0)=1$; $y(1)=\cos(\pi/2)=0$.

Ответ: В предположении, что область определения функции — все целые числа $\mathbb{Z}$, а значения для неуказанных на графике точек равны нулю, функцию можно задать аналитически следующими способами:
1. Кусочно: $y(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x = 0 \\ 0, & \text{если } x \in \mathbb{Z}, x \neq 0 \end{cases}$
2. С помощью символа Кронекера: $y(x) = \delta_{x,0}$
3. Формулой: $y(x) = 0^{|x|}$ (при условии $0^0=1$).