Страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.26. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} 1, \text{ если } x < 0, \\ 0, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

2*) $h(x) = \frac{1}{x} - \left[\frac{1}{x}\right];$

3) $f(x) = \begin{cases} -1, \text{ если } x < 0, \\ 0, \text{ если } x = 0, \\ 1, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

4) $g(x) = \begin{cases} 1, \text{ если } x < -1, \\ x, \text{ если } -1 \le x \le 1, \\ -1, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} 1, \text{ если } x < 0 \\ 0, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$.

Это кусочно-постоянная функция. Её график состоит из двух частей:

1. Для всех $x < 0$ (отрицательная полуось, не включая ноль), значение функции постоянно и равно 1. Это будет горизонтальный луч $y=1$, идущий влево от оси $y$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит графику, так как условие строгое ($x < 0$), поэтому мы обозначим её выколотой (пустой) точкой.

2. Для всех $x \ge 0$ (положительная полуось, включая ноль), значение функции постоянно и равно 0. Это будет горизонтальный луч $y=0$ (совпадающий с осью $Ox$), идущий вправо от начала координат. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику, так как условие нестрогое ($x \ge 0$), поэтому мы обозначим её закрашенной (сплошной) точкой.

Ответ:

2*) Дана функция $h(x) = \frac{1}{x} - \left[\frac{1}{x}\right]$.

Эта функция представляет собой дробную часть числа $\frac{1}{x}$, то есть $h(x) = \left\{\frac{1}{x}\right\}$. Область определения функции: $x \ne 0$. Значения функции всегда находятся в промежутке $[0, 1)$.

Значение функции равно 0, когда $\frac{1}{x}$ является целым числом $n$. Это происходит при $x = \frac{1}{n}$ для $n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$. То есть в точках $x = \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \dots$

Рассмотрим поведение функции на разных интервалах:

1. Если $x > 1$, то $0 < \frac{1}{x} < 1$, поэтому $\left[\frac{1}{x}\right] = 0$. Функция принимает вид $h(x) = \frac{1}{x}$. График является частью гиперболы. При $x \to \infty$, $h(x) \to 0$. При $x \to 1^+$, $h(x) \to 1$. В точке $x=1$ значение функции $h(1)=0$.

2. Если $\frac{1}{n+1} < x \le \frac{1}{n}$ для целого $n \ge 1$, то $n \le \frac{1}{x} < n+1$, и $\left[\frac{1}{x}\right] = n$. Функция принимает вид $h(x) = \frac{1}{x} - n$. Это части гиперболы $y=\frac{1}{x}$, сдвинутые вниз на $n$. В правых концах этих интервалов (в точках $x=1/n$) функция равна 0. В левых концах (при $x \to 1/(n+1)^+$) функция стремится к 1.

3. Если $x \le -1$, то $-1 \le \frac{1}{x} < 0$, поэтому $\left[\frac{1}{x}\right] = -1$. Функция принимает вид $h(x) = \frac{1}{x} - (-1) = \frac{1}{x} + 1$. При $x \to -\infty$, $h(x) \to 1$. В точке $x=-1$ значение $h(-1)=0$.

4. Если $-\frac{1}{n} < x \le -\frac{1}{n+1}$ для целого $n \ge 1$, то $-(n+1) \le \frac{1}{x} < -n$, и $\left[\frac{1}{x}\right] = -(n+1)$. Функция принимает вид $h(x) = \frac{1}{x} - (-(n+1)) = \frac{1}{x} + n+1$. Это также части гиперболы, сдвинутые вверх. В правых концах интервалов ($x=-1/(n+1)$) функция равна 0. В левых ($x \to -1/n^-$) стремится к 1.

График имеет разрывы в точках $x = \frac{1}{n}$ для $n \in \mathbb{Z}, n \ne 0, \pm 1$. Вблизи $x=0$ число разрывов бесконечно.

Ответ:

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} -1, \text{ если } x < 0 \\ 0, \text{ если } x = 0 \\ 1, \text{ если } x > 0 \end{cases}$.

Эта функция известна как "сигнум" или знаковая функция, обозначается $\operatorname{sgn}(x)$.

1. Для всех $x < 0$, значение функции равно -1. Это горизонтальный луч $y=-1$ слева от оси $y$. Точка $(0, -1)$ не принадлежит графику, поэтому она выколота.

2. При $x = 0$, значение функции равно 0. Это единственная точка — начало координат $(0, 0)$. Она закрашена.

3. Для всех $x > 0$, значение функции равно 1. Это горизонтальный луч $y=1$ справа от оси $y$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит графику и поэтому выколота.

График имеет "скачки" в точке $x=0$.

Ответ:

4) Дана функция $g(x) = \begin{cases} 1, \text{ если } x < -1 \\ x, \text{ если } -1 \le x \le 1 \\ -1, \text{ если } x > 1 \end{cases}$.

Это кусочно-заданная функция, график которой состоит из трех частей:

1. Для $x < -1$, функция постоянна и равна 1. Это горизонтальный луч $y=1$, идущий влево от прямой $x=-1$. Так как неравенство строгое, точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику и будет выколотой.

2. Для $-1 \le x \le 1$, функция равна $x$. Это отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$. Так как неравенства нестрогие, обе конечные точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$ принадлежат графику и будут закрашенными.

3. Для $x > 1$, функция постоянна и равна -1. Это горизонтальный луч $y=-1$, идущий вправо от прямой $x=1$. Так как неравенство строгое, точка $(1, -1)$ не принадлежит графику и будет выколотой.

График имеет разрывы первого рода (скачки) в точках $x=-1$ и $x=1$.

Ответ:

1.27. Каковы наибольшее и наименьшее значения выражения:

1)
$4 + 3\cos\alpha$;

2)
$3 - \sin\alpha$?

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $4 + 3\cos\alpha$, мы воспользуемся свойством ограниченности функции косинуса. Область значений функции $y = \cos\alpha$ — это промежуток $[-1; 1]$.

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le \cos\alpha \le 1$

Сначала умножим все части этого неравенства на $3$:

$3 \cdot (-1) \le 3\cos\alpha \le 3 \cdot 1$

$-3 \le 3\cos\alpha \le 3$

Теперь прибавим $4$ ко всем частям полученного неравенства:

$4 - 3 \le 4 + 3\cos\alpha \le 4 + 3$

$1 \le 4 + 3\cos\alpha \le 7$

Из этого следует, что наименьшее значение выражения равно $1$ (оно достигается, когда $\cos\alpha = -1$), а наибольшее значение равно $7$ (оно достигается, когда $\cos\alpha = 1$).

Ответ: наименьшее значение: $1$; наибольшее значение: $7$.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $3 - \sin\alpha$, мы воспользуемся свойством ограниченности функции синуса. Область значений функции $y = \sin\alpha$ — это промежуток $[-1; 1]$.

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le \sin\alpha \le 1$

Сначала умножим все части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-1) \ge -\sin\alpha \ge 1 \cdot (-1)$

$1 \ge -\sin\alpha \ge -1$

Для удобства запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-1 \le -\sin\alpha \le 1$

Теперь прибавим $3$ ко всем частям полученного неравенства:

$3 - 1 \le 3 - \sin\alpha \le 3 + 1$

$2 \le 3 - \sin\alpha \le 4$

Из этого следует, что наименьшее значение выражения равно $2$ (оно достигается, когда $\sin\alpha = 1$), а наибольшее значение равно $4$ (оно достигается, когда $\sin\alpha = -1$).

Ответ: наименьшее значение: $2$; наибольшее значение: $4$.

1.28. Докажите, что прямая $y = x - 12$ не пересекается с окружностью $x^2 + y^2 = 36$.

Чтобы доказать, что прямая $y = x - 12$ не пересекается с окружностью $x^2 + y^2 = 36$, можно пойти двумя путями: алгебраическим, решив систему уравнений, или геометрическим, сравнив расстояние от центра окружности до прямой с ее радиусом.

1. Алгебраический способ.

Найдем точки пересечения, решив систему уравнений:
$y = x - 12$
$x^2 + y^2 = 36$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 + (x - 12)^2 = 36$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + x^2 - 24x + 144 = 36$
$2x^2 - 24x + 144 - 36 = 0$
$2x^2 - 24x + 108 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 12x + 54 = 0$

Чтобы определить, есть ли у этого уравнения действительные решения, вычислим его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 144 - 216 = -72$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что у прямой и окружности нет общих точек, то есть они не пересекаются.

2. Геометрический способ.

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 36$ — это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{36} = 6$.

Прямая и окружность не пересекаются, если расстояние от центра окружности до прямой больше, чем радиус.

Найдем расстояние $d$ от точки $O(0, 0)$ до прямой $y = x - 12$. Для этого приведем уравнение прямой к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$x - y - 12 = 0$

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим координаты центра $x_0=0, y_0=0$ и коэффициенты прямой $A=1, B=-1, C=-12$:
$d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - 12|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{1+1}} = \frac{12}{\sqrt{2}}$

Упростим выражение:
$d = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом $R$:
$d = 6\sqrt{2}$, $R = 6$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $6\sqrt{2} > 6$. Таким образом, $d > R$.

Так как расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, прямая и окружность не пересекаются.

Ответ: Утверждение доказано. Система уравнений прямой и окружности не имеет действительных решений (дискриминант равен $-72$), а расстояние от центра окружности до прямой ($6\sqrt{2}$) больше ее радиуса ($6$), следовательно, прямая и окружность не пересекаются.