Страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте определение функции. Поясните смысл определения с помощью графиков известных вам функций.

2. Что такое область определения, область значения и график функции? Как их обозначают?

3. Какие способы задания функции вы знаете? Поясните их на примере.

4. Область определения функции, заданной аналитическим способом, не указана. Какое множество берется в качестве ее области определения?

5. Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Какое множество берется в качестве области определения: 1) суммы; 2) разности; 3) произведения; 4) частного этих функций? Обоснуйте ответ.

1. Функция (или функциональная зависимость) – это такое правило, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

Переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом, а переменную $y$ – зависимой переменной или значением функции. Множество $X$ называют областью определения функции, а множество всех значений $y$, которые принимает функция, — областью значений функции. Записывают это как $y = f(x)$.

Ключевым в определении является слово «единственный». Это означает, что для одного значения аргумента $x$ не может быть двух или более разных значений функции $y$.

Проиллюстрируем это на графиках. Графиком функции является множество точек на координатной плоскости. Чтобы проверить, является ли кривая графиком некоторой функции, можно использовать «тест вертикальной прямой»: любая вертикальная прямая должна пересекать график не более чем в одной точке.

Пример 1: Линейная функция $y = 0.5x + 1$
Каждому значению $x$ соответствует ровно одно значение $y$. Любая вертикальная прямая пересекает график только в одной точке.

Пример 2: Кривая, не являющаяся графиком функции (окружность $x^2 + y^2 = 80^2$)
Здесь одному значению $x$ (например, $x=40$) соответствуют два значения $y$. Вертикальная прямая пересекает график в двух точках. Следовательно, это не график функции.

Ответ: Функция – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента) $x$ из некоторого множества ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

2. Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (т.е. для которых можно вычислить значение $y$).
Обозначение: $D(f)$ или $D(y)$.

Область значений функции (или множество значений) – это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$.
Обозначение: $E(f)$ или $E(y)$.

График функции – это множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, абсциссы которых ($x$) являются допустимыми значениями аргумента, а ординаты ($y$) – соответствующими им значениями функции.

Пример: Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} - 1$.

• Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x} - 1 \ge -1$. Таким образом, $E(y) = [-1; +\infty)$.
• График: Это ветвь параболы, смещенная на 1 единицу вниз по оси $Oy$.

Ответ: Область определения ($D(f)$) – все допустимые $x$. Область значений ($E(f)$) – все получаемые $y$. График – множество точек $(x, f(x))$ на плоскости.

3. Существует несколько способов задания функции:

1. Аналитический способ – с помощью формулы. Это самый распространенный способ. Формула показывает, какие вычислительные операции нужно произвести над аргументом $x$, чтобы получить значение функции $y$.
   Пример: $y = 2x^2 - 3$, $f(t) = \sin(t) + \cos(t)$.
2. Табличный способ – с помощью таблицы, в которой для ряда значений аргумента указаны соответствующие им значения функции. Этот способ часто используется при регистрации результатов наблюдений или экспериментов.
   Пример: Таблица зависимости температуры воздуха ($T$, в °C) от времени суток ($t$, в часах).
   

   $t$, ч	0	3	6	9	12
   $T$, °C	-5	-7	-4	0	2

3. Графический способ – с помощью графика. Этот способ наглядно представляет поведение функции. График функции позволяет находить ее значения для любого значения аргумента из области определения (хотя и с некоторой погрешностью).
   Пример: Кардиограмма, показывающая зависимость электрического потенциала сердца от времени.
4. Словесный способ – правило задания функции описывается словами.
   Пример 1: «Функция $y=f(x)$ каждому неотрицательному числу $x$ ставит в соответствие его квадратный корень, а каждому отрицательному числу — ноль». Аналитически это можно записать как $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$.
   Пример 2: Функция Дирихле: «$y$ равен 1, если $x$ — рациональное число, и 0, если $x$ — иррациональное число».

Ответ: Способы задания функции: аналитический (формулой), табличный (таблицей), графический (графиком) и словесный (описанием).

4. Если функция задана аналитически (формулой), но ее область определения не указана явно, то в качестве области определения берется ее естественная область определения.

Естественная область определения функции – это множество всех действительных значений аргумента $x$, при которых формула, задающая функцию, имеет смысл. То есть, это все значения $x$, для которых можно выполнить все указанные в формуле математические операции и получить в результате действительное число.

Основные ограничения, которые нужно учитывать при нахождении естественной области определения:

• Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Для функции $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ должно выполняться $g(x) \neq 0$.
• Выражение под корнем четной степени (например, квадратным) должно быть неотрицательным. Для функции $y = \sqrt[2n]{f(x)}$ должно выполняться $f(x) \ge 0$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Для функции $y = \log_a(f(x))$ должно выполняться $f(x) > 0$.

Пример: Найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$.
Здесь два ограничения:

1. Выражение под корнем: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Объединяя эти условия, получаем естественную область определения: $D(y) = [-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: В качестве области определения берется естественная область определения – множество всех значений аргумента, при которых формула, задающая функцию, имеет смысл.

5. Пусть даны две функции $y=f(x)$ с областью определения $D(f)$ и $y=g(x)$ с областью определения $D(g)$.

1) Сумма: $h(x) = f(x) + g(x)$.
Чтобы вычислить значение суммы $h(x)$ в некоторой точке $x$, необходимо, чтобы в этой точке существовали оба значения: и $f(x)$, и $g(x)$. Это возможно только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и области определения $D(f)$, и области определения $D(g)$. Следовательно, область определения суммы – это пересечение областей определения исходных функций.
$D(f+g) = D(f) \cap D(g)$.

2) Разность: $h(x) = f(x) - g(x)$.
Рассуждения аналогичны сумме. Чтобы найти разность, нужно, чтобы оба значения $f(x)$ и $g(x)$ были определены. $D(f-g) = D(f) \cap D(g)$.

3) Произведение: $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Аналогично, чтобы найти произведение, нужно, чтобы оба множителя $f(x)$ и $g(x)$ были определены.
$D(f \cdot g) = D(f) \cap D(g)$.

4) Частное: $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.
Здесь, помимо того, что должны существовать значения $f(x)$ и $g(x)$ (т.е. $x \in D(f) \cap D(g)$), добавляется еще одно важное ограничение, известное из арифметики: деление на ноль запрещено. Поэтому необходимо исключить из области определения все те значения $x$, при которых знаменатель $g(x)$ обращается в ноль. $D(f/g) = \{x \mid x \in D(f) \cap D(g) \text{ и } g(x) \neq 0\}$.

Обоснование: Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления определены для чисел. Чтобы выполнить эти операции над значениями функций $f(x)$ и $g(x)$, эти значения должны существовать, то есть аргумент $x$ должен принадлежать областям определения обеих функций. Для операции деления существует дополнительное требование – делитель не должен быть равен нулю.

Ответ:
1) Для суммы, 2) разности и 3) произведения область определения — это пересечение областей определения исходных функций: $D(f) \cap D(g)$.
4) Для частного область определения — это пересечение областей определения исходных функций, из которого исключены точки, где знаменатель равен нулю: $\{x \in D(f) \cap D(g) \mid g(x) \neq 0\}$.

Практическая работа

По данным рис. 1.12 выразите $a$ через $\alpha$, здесь $r, b$ – постоянные величины. Будет ли эта зависимость функцией? Какова область определения этой функции?

Рис. 1.12

По данным рис. 1.12 выразите a через α, здесь r, b — постоянные величины.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка O, центр левой дуги окружности, является началом координат (0, 0). Тогда горизонтальная пунктирная линия будет осью Ox, а вертикальная пунктирная линия, проходящая через O, — осью Oy. В этой системе координат точка A, лежащая на дуге окружности радиуса r, будет иметь координаты $(r \cdot \cos\alpha, r \cdot \sin\alpha)$.

Фигура симметрична относительно вертикальной оси. Найдем положение этой оси. Левая дуга начинается на оси Ox в точке с координатой r. Ширина самой узкой части фигуры равна b. Следовательно, правая дуга начинается в точке с координатой $r+b$. Ось симметрии проходит посередине, то есть ее координата по оси Ox равна $x_{c} = r + \frac{b}{2}$.

Величина a представляет собой расстояние по горизонтали от оси симметрии до точки A. Горизонтальная координата точки A равна $x_A = r \cdot \cos\alpha$. Тогда расстояние a можно найти как разность между положением оси симметрии и горизонтальной координатой точки A:

$a = x_c - x_A = (r + \frac{b}{2}) - r \cdot \cos\alpha$

Выражение можно преобразовать, вынеся r за скобки:

$a = r(1 - \cos\alpha) + \frac{b}{2}$

Ответ: $a = r(1 - \cos\alpha) + \frac{b}{2}$.

Будет ли эта зависимость функцией?

Да, полученная зависимость $a(\alpha)$ является функцией. По определению, функция — это правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества (области определения) соответствует единственное значение зависимой переменной (функции).

В нашем случае для любого допустимого значения угла α существует единственное значение тригонометрической функции $\cos\alpha$. Поскольку r и b являются постоянными величинами, то и все выражение $r(1 - \cos\alpha) + \frac{b}{2}$ будет принимать единственное значение. Таким образом, каждому значению α соответствует единственное значение a.

Ответ: Да, эта зависимость является функцией.

Какова область определения этой функции?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента, в данном случае угла α. Из геометрического смысла задачи, представленного на рисунке, видно, что угол α может изменяться от 0 до $π/2$ радиан (или от 0° до 90°).

• При $α = 0$ точка A находится в самой нижней точке дуги (на горизонтальной оси). В этом случае $\cos(0) = 1$, и $a = r(1-1) + b/2 = b/2$. Это соответствует половине ширины зазора в самом узком месте.
• При $α = π/2$ точка A находится в самой верхней точке дуги (на уровне центра O). В этом случае $\cos(π/2) = 0$, и $a = r(1-0) + b/2 = r + b/2$. Это соответствует максимальному значению a.

Таким образом, область определения для угла α — это отрезок от 0 до $π/2$.

Ответ: Область определения функции: $α \in [0, \frac{π}{2}]$.

1.1. Стороны прямоугольника равны 5 м и $x$ м, а его площадь равна $y$ м². Запишите соответствие между $x$ и $y$ с помощью формулы. Укажите область определения и область значений этого соответствия.

Запишите соответствие между x и y с помощью формулы.
Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его сторон. По условию, стороны прямоугольника равны $5$ м и $x$ м, а его площадь равна $y$ м².
Следовательно, зависимость площади $y$ от длины стороны $x$ можно выразить следующей формулой:
$y = 5 \cdot x$
Ответ: $y = 5x$.

Укажите область определения и область значений этого соответствия.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента), в данном случае $x$. Поскольку $x$ представляет собой длину стороны геометрической фигуры (прямоугольника), эта величина должна быть строго положительной. Таким образом, $x > 0$.
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$. Поскольку $y=5x$ и $x$ может быть любым положительным числом, то $y$ также может быть любым положительным числом. Если $x > 0$, то, умножая на $5$, получаем $5x > 0$, следовательно, $y > 0$.
Ответ: Область определения: $x \in (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (0; +\infty)$.

1.2. На множестве действительных чисел формулой заданы соответствия: 1) $y = 3x - 4$; 2) $y = (x - 2)^2$; 3) $y = \sqrt{x + 1}$; 4) $y^2 = x + 1$.

Найдите область определения, область значений и постройте их график. Какая из них определяет функцию? Почему?

1) y = 3x - 4

Область определения: Выражение $3x - 4$ определено для любого действительного числа $x$. Поэтому область определения — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Это линейная функция, её график — прямая линия, не параллельная оси абсцисс. Функция принимает все возможные действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

График: Графиком является прямая линия. Для построения найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
- если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$.

Ответ: Данное соотношение является функцией.

2) y = (x - 2)²

Область определения: Выражение $(x - 2)²$ определено для любого действительного числа $x$. Область определения — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $y \ge 0$.
$E(y) = [0; +\infty)$.

График: Графиком является парабола, которая получена сдвигом графика функции $y = x^2$ на 2 единицы вправо по оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$, ветви направлены вверх.

Ответ: Данное соотношение является функцией.

3) y = √x + 1

Область определения: Выражение под знаком арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
$D(y) = [-1; +\infty)$.

Область значений: Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$.
$E(y) = [0; +\infty)$.

График: Графиком является верхняя ветвь параболы $y^2 = x+1$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево по оси Ox. Начальная точка $(-1, 0)$.

Ответ: Данное соотношение является функцией.

4) y² = x + 1

Область определения: Левая часть уравнения, $y^2$, всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
$D(x) = [-1; +\infty)$.

Область значений: Из уравнения следует, что $y = \pm\sqrt{x+1}$. Поскольку $\sqrt{x+1}$ может принимать любое значение от 0 до $+\infty$, переменная $y$ может принимать любое действительное значение.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

График: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-1, 0)$, симметричная относительно оси Ox, ветви которой направлены вправо.

Ответ: Данное соотношение не является функцией.

Какая из них определяет функцию? Почему?

Функцией называется такое соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества (области определения) соответствует единственный элемент другого множества (области значений).

1. y = 3x - 4: Это функция, так как каждому значению $x$ соответствует ровно одно значение $y$.

2. y = (x - 2)²: Это функция, так как каждому значению $x$ соответствует ровно одно значение $y$.

3. y = √x + 1: Это функция, так как по определению арифметического корня для каждого $x$ из области определения $[-1; +\infty)$ существует единственное неотрицательное значение $y$.

4. y² = x + 1: Это соотношение не является функцией, так как для любого значения $x > -1$ существует два противоположных значения $y$ (например, при $x = 3$, $y^2 = 4$, откуда $y = 2$ и $y = -2$). Это нарушает определение функции.

Графически это можно проверить с помощью теста вертикальной линией: если любая вертикальная линия пересекает график не более чем в одной точке, то график задает функцию. Графики 1, 2 и 3 проходят этот тест, а график 4 — нет.

1.3. На множестве $X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ функция $f$ определена формулой $y = \frac{3}{x-3}$. Постройте график этой функции.

Для построения графика функции, заданной на дискретном множестве, необходимо найти значения функции для каждого элемента этого множества. График будет представлять собой набор отдельных точек на координатной плоскости.

Дана функция $y = \frac{3}{x-3}$ и область определения — множество $X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.Вычислим значения y для каждого значения x из множества X, чтобы найти координаты точек графика.

При x = -2:
$y = \frac{3}{-2-3} = \frac{3}{-5} = -0.6$
Получаем точку с координатами (-2; -0.6).

При x = -1:
$y = \frac{3}{-1-3} = \frac{3}{-4} = -0.75$
Получаем точку с координатами (-1; -0.75).

При x = 0:
$y = \frac{3}{0-3} = \frac{3}{-3} = -1$
Получаем точку с координатами (0; -1).

При x = 1:
$y = \frac{3}{1-3} = \frac{3}{-2} = -1.5$
Получаем точку с координатами (1; -1.5).

При x = 2:
$y = \frac{3}{2-3} = \frac{3}{-1} = -3$
Получаем точку с координатами (2; -3).

Теперь построим график, отметив эти пять точек на координатной плоскости. Так как область определения функции — это конечное множество, то ее график состоит из пяти изолированных точек.

Ответ: Графиком функции является множество из пяти точек с координатами (-2; -0.6), (-1; -0.75), (0; -1), (1; -1.5), (2; -3). График представлен на рисунке выше.