Номер 1.2, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.2. На множестве действительных чисел формулой заданы соответствия: 1) $y = 3x - 4$; 2) $y = (x - 2)^2$; 3) $y = \sqrt{x + 1}$; 4) $y^2 = x + 1$.

Найдите область определения, область значений и постройте их график. Какая из них определяет функцию? Почему?

1) y = 3x - 4

Область определения: Выражение $3x - 4$ определено для любого действительного числа $x$. Поэтому область определения — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Это линейная функция, её график — прямая линия, не параллельная оси абсцисс. Функция принимает все возможные действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

График: Графиком является прямая линия. Для построения найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
- если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$.

Ответ: Данное соотношение является функцией.

2) y = (x - 2)²

Область определения: Выражение $(x - 2)²$ определено для любого действительного числа $x$. Область определения — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $y \ge 0$.
$E(y) = [0; +\infty)$.

График: Графиком является парабола, которая получена сдвигом графика функции $y = x^2$ на 2 единицы вправо по оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$, ветви направлены вверх.

Ответ: Данное соотношение является функцией.

3) y = √x + 1

Область определения: Выражение под знаком арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
$D(y) = [-1; +\infty)$.

Область значений: Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$.
$E(y) = [0; +\infty)$.

График: Графиком является верхняя ветвь параболы $y^2 = x+1$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево по оси Ox. Начальная точка $(-1, 0)$.

Ответ: Данное соотношение является функцией.

4) y² = x + 1

Область определения: Левая часть уравнения, $y^2$, всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
$D(x) = [-1; +\infty)$.

Область значений: Из уравнения следует, что $y = \pm\sqrt{x+1}$. Поскольку $\sqrt{x+1}$ может принимать любое значение от 0 до $+\infty$, переменная $y$ может принимать любое действительное значение.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

График: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-1, 0)$, симметричная относительно оси Ox, ветви которой направлены вправо.

Ответ: Данное соотношение не является функцией.

Какая из них определяет функцию? Почему?

Функцией называется такое соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества (области определения) соответствует единственный элемент другого множества (области значений).

1. y = 3x - 4: Это функция, так как каждому значению $x$ соответствует ровно одно значение $y$.

2. y = (x - 2)²: Это функция, так как каждому значению $x$ соответствует ровно одно значение $y$.

3. y = √x + 1: Это функция, так как по определению арифметического корня для каждого $x$ из области определения $[-1; +\infty)$ существует единственное неотрицательное значение $y$.

4. y² = x + 1: Это соотношение не является функцией, так как для любого значения $x > -1$ существует два противоположных значения $y$ (например, при $x = 3$, $y^2 = 4$, откуда $y = 2$ и $y = -2$). Это нарушает определение функции.

Графически это можно проверить с помощью теста вертикальной линией: если любая вертикальная линия пересекает график не более чем в одной точке, то график задает функцию. Графики 1, 2 и 3 проходят этот тест, а график 4 — нет.