Номер 0.49, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.49. Числа $a$, $b$, $c$ образуют геометрическую прогрессию, а числа $a$, $2b$, $3c$ – арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отличный от $1$.

Пусть $a$, $b$, $c$ — три последовательных члена геометрической прогрессии. Обозначим знаменатель этой прогрессии через $q$. Тогда, по определению геометрической прогрессии, мы можем выразить $b$ и $c$ через $a$ и $q$:

$b = a \cdot q$

$c = b \cdot q = (a \cdot q) \cdot q = a \cdot q^2$

По условию задачи, числа $a$, $2b$, $3c$ образуют арифметическую прогрессию. Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Для нашей последовательности это означает:

$2b = \frac{a + 3c}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4b = a + 3c$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $b$ и $c$, которые мы получили из свойства геометрической прогрессии:

$4(a \cdot q) = a + 3(a \cdot q^2)$

$4aq = a + 3aq^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $q$:

$3aq^2 - 4aq + a = 0$

Если $a=0$, то $b=0$ и $c=0$. В этом случае последовательность $0, 0, 0$ является геометрической прогрессией с любым знаменателем $q$, а последовательность $0, 0, 0$ является арифметической. Задача в таком случае не имела бы единственного решения. Будем считать, что $a \neq 0$. Тогда мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$3q^2 - 4q + 1 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его. Найдем дискриминант $D$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Теперь найдем корни уравнения для $q$:

$q_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$q_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

В условии задачи сказано, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от 1. Следовательно, решение $q_1 = 1$ нам не подходит.

Таким образом, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $q_2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.