Номер 0.44, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.44. Упростите выражение:

1) $ \frac{\sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \cos^2(3\pi - \alpha) + \cos(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\operatorname{tg}^2(\alpha - \frac{\pi}{2})\operatorname{ctg}^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} $;

2) $ \frac{\cos \varphi + \sin \varphi - \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^2 \varphi \cos \varphi}{\sin \varphi \operatorname{tg} \varphi + \cos \varphi \operatorname{ctg} \varphi} $.

1) Упростим выражение по частям. Сначала рассмотрим числитель, используя формулы приведения:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $, поэтому $ \sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $
$ \cos(3\pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $, поэтому $ \cos^2(3\pi - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $
$ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $
$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha $

Подставим эти значения в числитель:

$ \sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \cos^2(3\pi - \alpha) + \cos(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha) = \cos^2\alpha + \cos^2\alpha + (-\cos\alpha)(\cos\alpha) = 2\cos^2\alpha - \cos^2\alpha = \cos^2\alpha $.

Теперь упростим знаменатель, также используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

$ \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \text{tg}(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\text{ctg}\alpha $, поэтому $ \text{tg}^2(\alpha - \frac{\pi}{2}) = (-\text{ctg}\alpha)^2 = \text{ctg}^2\alpha $
$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}\alpha $, поэтому $ \text{ctg}^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = (-\text{tg}\alpha)^2 = \text{tg}^2\alpha $

Подставим эти значения в знаменатель:

$ \text{tg}^2(\alpha - \frac{\pi}{2})\text{ctg}^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \text{ctg}^2\alpha \cdot \text{tg}^2\alpha = (\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha)^2 = 1^2 = 1 $.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{\cos^2\alpha}{1} = \cos^2\alpha $.

Ответ: $ \cos^2\alpha $.

2) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $ \cos \varphi + \sin \varphi - \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^2 \varphi \cos \varphi $. Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos \varphi + \sin \varphi) - (\cos^2 \varphi \sin \varphi + \sin^2 \varphi \cos \varphi) $

Вынесем общие множители за скобки:

$ (\cos \varphi + \sin \varphi) - \sin \varphi \cos \varphi (\cos \varphi + \sin \varphi) $

Теперь вынесем за скобки общий множитель $ (\cos \varphi + \sin \varphi) $:

$ (\cos \varphi + \sin \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi) $.

Знаменатель: $ \sin \varphi \text{tg} \varphi + \cos \varphi \text{ctg} \varphi $. Заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \sin \varphi \cdot \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} + \cos \varphi \cdot \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} = \frac{\sin^2 \varphi}{\cos \varphi} + \frac{\cos^2 \varphi}{\sin \varphi} $

Приведем к общему знаменателю $ \sin \varphi \cos \varphi $:

$ \frac{\sin^3 \varphi + \cos^3 \varphi}{\sin \varphi \cos \varphi} $

Применим формулу суммы кубов $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ к числителю полученного выражения:

$ \sin^3 \varphi + \cos^3 \varphi = (\sin \varphi + \cos \varphi)(\sin^2 \varphi - \sin \varphi \cos \varphi + \cos^2 \varphi) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1 $, получаем:

$ (\sin \varphi + \cos \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi) $.

Таким образом, знаменатель исходной дроби равен:

$ \frac{(\sin \varphi + \cos \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi)}{\sin \varphi \cos \varphi} $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{(\cos \varphi + \sin \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi)}{\frac{(\sin \varphi + \cos \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi)}{\sin \varphi \cos \varphi}} $

Сокращаем дробь на $ (\sin \varphi + \cos \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi) $, при условии, что это выражение не равно нулю (что выполняется для области определения исходного выражения), и получаем:

$ 1 \div \frac{1}{\sin \varphi \cos \varphi} = \sin \varphi \cos \varphi $.

Ответ: $ \sin \varphi \cos \varphi $.