Номер 0.41, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.41. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + 2 \cos x$;

2) $2 - 5 \sin x$;

3) $2 - 5|\sin x|$.

1) Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $1 + 2 \cos x$, воспользуемся свойством ограниченности функции косинус.

Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \cos x \le 1$.

Умножим все части неравенства на 2. Так как 2 > 0, знаки неравенства не изменятся:
$2 \cdot (-1) \le 2 \cos x \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2 \cos x \le 2$.

Теперь прибавим ко всем частям неравенства 1:
$-2 + 1 \le 1 + 2 \cos x \le 2 + 1$
$-1 \le 1 + 2 \cos x \le 3$.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -1 (достигается при $\cos x = -1$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $\cos x = 1$).
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 3.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $2 - 5 \sin x$ воспользуемся свойством ограниченности функции синус.

Область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть:
$-1 \le \sin x \le 1$.

Умножим все части неравенства на -5. Так как мы умножаем на отрицательное число (-5 < 0), знаки неравенства изменятся на противоположные:
$(-5) \cdot 1 \le -5 \sin x \le (-5) \cdot (-1)$
$-5 \le -5 \sin x \le 5$.

Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$-5 + 2 \le 2 - 5 \sin x \le 5 + 2$
$-3 \le 2 - 5 \sin x \le 7$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -3 (достигается при $\sin x = 1$), а наибольшее значение равно 7 (достигается при $\sin x = -1$).
Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 7.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения выражения $2 - 5|\sin x|$.

Сначала определим область значений функции $y = |\sin x|$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то модуль этой функции будет принимать значения от 0 до 1 включительно:
$0 \le |\sin x| \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на -5. Знаки неравенства меняются на противоположные, так как -5 < 0:
$(-5) \cdot 1 \le -5|\sin x| \le (-5) \cdot 0$
$-5 \le -5|\sin x| \le 0$.

Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-5 + 2 \le 2 - 5|\sin x| \le 0 + 2$
$-3 \le 2 - 5|\sin x| \le 2$.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -3 (достигается при $|\sin x| = 1$), а наибольшее значение равно 2 (достигается при $|\sin x| = 0$).
Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 2.