Номер 0.48, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.48. Могут ли быть членами (не обязательно соседними) одной геометрической прогрессии числа 10; 11; 15?

Предположим, что числа 10, 11 и 15 являются членами одной геометрической прогрессии. Пусть $b_1$ — первый член этой прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда данные числа могут быть представлены как: $10 = b_1 q^{k-1}$ $11 = b_1 q^{l-1}$ $15 = b_1 q^{m-1}$ где $k, l, m$ — различные натуральные числа, являющиеся номерами этих членов.

Рассмотрим отношения этих членов. Отношение любых двух членов геометрической прогрессии является степенью её знаменателя. $\frac{11}{10} = \frac{b_1 q^{l-1}}{b_1 q^{k-1}} = q^{l-k}$ $\frac{15}{11} = \frac{b_1 q^{m-1}}{b_1 q^{l-1}} = q^{m-l}$

Пусть $p = l-k$ и $s = m-l$. Так как $k, l, m$ — различные натуральные числа, то $p$ и $s$ — ненулевые целые числа. Мы получили систему: $q^p = \frac{11}{10}$ $q^s = \frac{15}{11}$

Из первого уравнения можно выразить $q$, возведя обе части в степень $1/p$: $q = \left(\frac{11}{10}\right)^{1/p}$. Подставим это во второе уравнение: $\left(\left(\frac{11}{10}\right)^{1/p}\right)^s = \frac{15}{11}$ $\left(\frac{11}{10}\right)^{s/p} = \frac{15}{11}$

Для удобства, возведем обе части равенства в степень $p$: $\left(\frac{11}{10}\right)^s = \left(\frac{15}{11}\right)^p$

Преобразуем это равенство, используя разложение чисел на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$, а 11 — простое число. $\frac{11^s}{(2 \cdot 5)^s} = \frac{(3 \cdot 5)^p}{11^p}$ $11^s \cdot 11^p = (3 \cdot 5)^p \cdot (2 \cdot 5)^s$ $11^{s+p} = 3^p \cdot 5^p \cdot 2^s \cdot 5^s$ $11^{s+p} = 2^s \cdot 3^p \cdot 5^{s+p}$

Перенесем все множители в левую часть, чтобы справа осталась единица: $2^{-s} \cdot 3^{-p} \cdot 5^{-(s+p)} \cdot 11^{s+p} = 1$

Согласно основной теореме арифметики, каждое целое число, большее 1, может быть представлено в виде произведения простых чисел единственным образом. Это свойство распространяется и на рациональные числа. Для того чтобы полученное выражение, состоящее из произведения степеней различных простых чисел, было равно 1, необходимо, чтобы показатели всех степеней были равны нулю. $-s = 0 \implies s = 0$ $-p = 0 \implies p = 0$ $s+p = 0$

Таким образом, мы получаем, что $p=0$ и $s=0$. Однако $p = l-k$ и $s = m-l$. Если $p=0$, то $l=k$. Если $s=0$, то $m=l$. Это означает, что $k=l=m$, то есть все три числа являются одним и тем же членом прогрессии. Но числа 10, 11 и 15 различны. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Нет, не могут.