Работа в группе, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Ответьте на нижеследующий вопрос и обоснуйте ответ.

Функция $y = x^2, x \in (-\infty; +\infty)$ называется квадратичной функцией. Будет ли квадратичной функция $y = x^2, x \in (0; +\infty)$?

Для ответа на этот вопрос необходимо понимать, что функция определяется не только своим аналитическим выражением (формулой), но и областью определения — множеством значений, которые может принимать аргумент $x$.

Функция $y = x^2$, заданная на множестве всех действительных чисел, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$, является квадратичной по определению. Её область определения является максимально возможной для данного аналитического выражения в поле действительных чисел. Графиком этой функции является полная парабола, симметричная относительно оси ординат.

Вторая функция $y = x^2$ имеет ту же формулу, но другую область определения: $x \in (0; +\infty)$. Это означает, что мы рассматриваем совершенно другую функцию, которая является сужением исходной квадратичной функции на множество положительных чисел.

Из-за изменения области определения меняются и свойства функции. Например, функция $y = x^2$ при $x \in (-\infty; +\infty)$ сначала убывает, а потом возрастает, и поэтому не является обратимой. В то же время функция $y = x^2$ при $x \in (0; +\infty)$ является строго возрастающей на всей своей области определения, и для неё существует обратная функция $y = \sqrt{x}$.

Графиком функции $y = x^2, x \in (0; +\infty)$ является только правая ветвь параболы. Точка $(0,0)$ не принадлежит графику, так как неравенство $x > 0$ строгое.

Таким образом, хотя правило $y=x^2$ является квадратичным, функция, определенная этим правилом на множестве положительных чисел, не является квадратичной функцией в общепринятом смысле этого термина, так как её область определения не совпадает с множеством всех действительных чисел.

Ответ: Нет, функция $y = x^2$ при $x \in (0; +\infty)$ не является квадратичной функцией. Понятие "квадратичная функция" обычно подразумевает, что область определения — это все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Рассматриваемая функция является лишь частью (сужением) квадратичной функции.