Номер 0.45, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.45. Найдите значение следующего выражения, если $tg\alpha = 3$:

1) $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \sin^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$;

2) $\frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\sin^3 \alpha - 3 \cos^3 \alpha}$.

1) Дано выражение $ \frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha} $ и известно, что $ \tan\alpha = 3 $. Поскольку значение тангенса определено, $ \cos\alpha \neq 0 $. Числитель и знаменатель данной дроби являются однородными многочленами второй степени относительно $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $. Это позволяет нам разделить числитель и знаменатель на $ \cos^2\alpha $, чтобы перейти к тангенсам.
$ \frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{7\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2 - 7\tan^2\alpha}{3\tan^2\alpha + 4\tan\alpha} $.
Теперь подставим известное значение $ \tan\alpha = 3 $ в полученное выражение:
$ \frac{2 - 7(3)^2}{3(3)^2 + 4(3)} = \frac{2 - 7 \cdot 9}{3 \cdot 9 + 12} = \frac{2 - 63}{27 + 12} = \frac{-61}{39} $.
Ответ: $ -\frac{61}{39} $.

2) Дано выражение $ \frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\sin^3\alpha - 3\cos^3\alpha} $ и известно, что $ \tan\alpha = 3 $. Как и в предыдущем пункте, $ \cos\alpha \neq 0 $. В этом выражении числитель является однородным многочленом первой степени, а знаменатель — третьей. Чтобы выразить все через $ \tan\alpha $, разделим числитель и знаменатель на $ \cos\alpha $ в наибольшей степени, которая встречается в дроби, то есть на $ \cos^3\alpha $.
$ \frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\sin^3\alpha - 3\cos^3\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha - 3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} - \frac{3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha} + \frac{3}{\cos^2\alpha}}{\tan^3\alpha - 3} $.
Используем основное тригонометрическое тождество в виде $ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha $. Тогда выражение примет вид:
$ \frac{\tan\alpha(1+\tan^2\alpha) + 3(1+\tan^2\alpha)}{\tan^3\alpha - 3} = \frac{(\tan\alpha + 3)(1 + \tan^2\alpha)}{\tan^3\alpha - 3} $.
Теперь подставим значение $ \tan\alpha = 3 $:
$ \frac{(3 + 3)(1 + 3^2)}{3^3 - 3} = \frac{6 \cdot (1 + 9)}{27 - 3} = \frac{6 \cdot 10}{24} = \frac{60}{24} $.
Сократим полученную дробь: $ \frac{60}{24} = \frac{5 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{5}{2} $.
Ответ: $ \frac{5}{2} $.