Вопросы, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.1. Понятие функции и способы её задания. Раздел 1. Функция, ее свойства и график - страница 16.

Учебник рус.

1. Сформулируйте определение функции. Поясните смысл определения с помощью графиков известных вам функций.

2. Что такое область определения, область значения и график функции? Как их обозначают?

3. Какие способы задания функции вы знаете? Поясните их на примере.

4. Область определения функции, заданной аналитическим способом, не указана. Какое множество берется в качестве ее области определения?

5. Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Какое множество берется в качестве области определения: 1) суммы; 2) разности; 3) произведения; 4) частного этих функций? Обоснуйте ответ.

Учебник кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Функция (или функциональная зависимость) – это такое правило, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

Переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом, а переменную $y$ – зависимой переменной или значением функции. Множество $X$ называют областью определения функции, а множество всех значений $y$, которые принимает функция, — областью значений функции. Записывают это как $y = f(x)$.

Ключевым в определении является слово «единственный». Это означает, что для одного значения аргумента $x$ не может быть двух или более разных значений функции $y$.

Проиллюстрируем это на графиках. Графиком функции является множество точек на координатной плоскости. Чтобы проверить, является ли кривая графиком некоторой функции, можно использовать «тест вертикальной прямой»: любая вертикальная прямая должна пересекать график не более чем в одной точке.

Пример 1: Линейная функция $y = 0.5x + 1$
Каждому значению $x$ соответствует ровно одно значение $y$. Любая вертикальная прямая пересекает график только в одной точке.

Пример 2: Кривая, не являющаяся графиком функции (окружность $x^2 + y^2 = 80^2$)
Здесь одному значению $x$ (например, $x=40$) соответствуют два значения $y$. Вертикальная прямая пересекает график в двух точках. Следовательно, это не график функции.

Ответ: Функция – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента) $x$ из некоторого множества ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

2. Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (т.е. для которых можно вычислить значение $y$).
Обозначение: $D(f)$ или $D(y)$.

Область значений функции (или множество значений) – это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$.
Обозначение: $E(f)$ или $E(y)$.

График функции – это множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, абсциссы которых ($x$) являются допустимыми значениями аргумента, а ординаты ($y$) – соответствующими им значениями функции.

Пример: Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} - 1$.

• Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x} - 1 \ge -1$. Таким образом, $E(y) = [-1; +\infty)$.
• График: Это ветвь параболы, смещенная на 1 единицу вниз по оси $Oy$.

Ответ: Область определения ($D(f)$) – все допустимые $x$. Область значений ($E(f)$) – все получаемые $y$. График – множество точек $(x, f(x))$ на плоскости.

3. Существует несколько способов задания функции:

1. Аналитический способ – с помощью формулы. Это самый распространенный способ. Формула показывает, какие вычислительные операции нужно произвести над аргументом $x$, чтобы получить значение функции $y$.
   Пример: $y = 2x^2 - 3$, $f(t) = \sin(t) + \cos(t)$.
2. Табличный способ – с помощью таблицы, в которой для ряда значений аргумента указаны соответствующие им значения функции. Этот способ часто используется при регистрации результатов наблюдений или экспериментов.
   Пример: Таблица зависимости температуры воздуха ($T$, в °C) от времени суток ($t$, в часах).
   

   $t$, ч	0	3	6	9	12
   $T$, °C	-5	-7	-4	0	2

3. Графический способ – с помощью графика. Этот способ наглядно представляет поведение функции. График функции позволяет находить ее значения для любого значения аргумента из области определения (хотя и с некоторой погрешностью).
   Пример: Кардиограмма, показывающая зависимость электрического потенциала сердца от времени.
4. Словесный способ – правило задания функции описывается словами.
   Пример 1: «Функция $y=f(x)$ каждому неотрицательному числу $x$ ставит в соответствие его квадратный корень, а каждому отрицательному числу — ноль». Аналитически это можно записать как $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$.
   Пример 2: Функция Дирихле: «$y$ равен 1, если $x$ — рациональное число, и 0, если $x$ — иррациональное число».

Ответ: Способы задания функции: аналитический (формулой), табличный (таблицей), графический (графиком) и словесный (описанием).

4. Если функция задана аналитически (формулой), но ее область определения не указана явно, то в качестве области определения берется ее естественная область определения.

Естественная область определения функции – это множество всех действительных значений аргумента $x$, при которых формула, задающая функцию, имеет смысл. То есть, это все значения $x$, для которых можно выполнить все указанные в формуле математические операции и получить в результате действительное число.

Основные ограничения, которые нужно учитывать при нахождении естественной области определения:

• Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Для функции $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ должно выполняться $g(x) \neq 0$.
• Выражение под корнем четной степени (например, квадратным) должно быть неотрицательным. Для функции $y = \sqrt[2n]{f(x)}$ должно выполняться $f(x) \ge 0$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Для функции $y = \log_a(f(x))$ должно выполняться $f(x) > 0$.

Пример: Найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$.
Здесь два ограничения:

1. Выражение под корнем: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Объединяя эти условия, получаем естественную область определения: $D(y) = [-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: В качестве области определения берется естественная область определения – множество всех значений аргумента, при которых формула, задающая функцию, имеет смысл.

5. Пусть даны две функции $y=f(x)$ с областью определения $D(f)$ и $y=g(x)$ с областью определения $D(g)$.

1) Сумма: $h(x) = f(x) + g(x)$.
Чтобы вычислить значение суммы $h(x)$ в некоторой точке $x$, необходимо, чтобы в этой точке существовали оба значения: и $f(x)$, и $g(x)$. Это возможно только тогда, когда $x$ принадлежит одновременно и области определения $D(f)$, и области определения $D(g)$. Следовательно, область определения суммы – это пересечение областей определения исходных функций.
$D(f+g) = D(f) \cap D(g)$.

2) Разность: $h(x) = f(x) - g(x)$.
Рассуждения аналогичны сумме. Чтобы найти разность, нужно, чтобы оба значения $f(x)$ и $g(x)$ были определены. $D(f-g) = D(f) \cap D(g)$.

3) Произведение: $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Аналогично, чтобы найти произведение, нужно, чтобы оба множителя $f(x)$ и $g(x)$ были определены.
$D(f \cdot g) = D(f) \cap D(g)$.

4) Частное: $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.
Здесь, помимо того, что должны существовать значения $f(x)$ и $g(x)$ (т.е. $x \in D(f) \cap D(g)$), добавляется еще одно важное ограничение, известное из арифметики: деление на ноль запрещено. Поэтому необходимо исключить из области определения все те значения $x$, при которых знаменатель $g(x)$ обращается в ноль. $D(f/g) = \{x \mid x \in D(f) \cap D(g) \text{ и } g(x) \neq 0\}$.

Обоснование: Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления определены для чисел. Чтобы выполнить эти операции над значениями функций $f(x)$ и $g(x)$, эти значения должны существовать, то есть аргумент $x$ должен принадлежать областям определения обеих функций. Для операции деления существует дополнительное требование – делитель не должен быть равен нулю.

Ответ:
1) Для суммы, 2) разности и 3) произведения область определения — это пересечение областей определения исходных функций: $D(f) \cap D(g)$.
4) Для частного область определения — это пересечение областей определения исходных функций, из которого исключены точки, где знаменатель равен нулю: $\{x \in D(f) \cap D(g) \mid g(x) \neq 0\}$.