Номер 0.46, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.46. Докажите неравенство $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$, $n \ge 2$.

Докажем данное неравенство $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$ для $n \ge 2$ методом математической индукции.

База индукции

Проверим истинность неравенства для наименьшего допустимого значения $n=2$.

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{2}$

Для доказательства этого неравенства, перенесём $\frac{1}{\sqrt{2}}$ в правую часть:

$1 > \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$1 > \frac{(\sqrt{2})^2 - 1}{\sqrt{2}} = \frac{2 - 1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Получилось неравенство $1 > \frac{1}{\sqrt{2}}$. Поскольку обе части положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$1^2 > \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$

$1 > \frac{1}{2}$

Это неравенство является верным. Следовательно, база индукции доказана.

Шаг индукции

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$. Это наше индукционное предположение:

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k}$

Теперь докажем, что из этого следует истинность неравенства для $n=k+1$, то есть:

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$

Выделим в левой части сумму, для которой мы можем применить индукционное предположение:

$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}}\right) + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

Согласно индукционному предположению, выражение в скобках больше, чем $\sqrt{k}$. Заменим его:

$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}}\right) + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

Теперь нам достаточно доказать, что полученное выражение больше, чем правая часть доказываемого неравенства, то есть:

$\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$

Преобразуем это неравенство, перенеся $\sqrt{k}$ в правую часть:

$\frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

Умножим и разделим правую часть на сопряженное ей выражение $(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})$:

$\sqrt{k+1} - \sqrt{k} = \frac{(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{(k+1) - k}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$

Подставим это выражение обратно в неравенство:

$\frac{1}{\sqrt{k+1}} > \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$

Так как числители дробей равны 1, а знаменатели положительны, неравенство верно тогда и только тогда, когда знаменатель левой дроби меньше знаменателя правой:

$\sqrt{k+1} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k}$

Вычитая $\sqrt{k+1}$ из обеих частей, получаем:

$0 < \sqrt{k}$

Это неравенство является истинным для любого $k \ge 2$. Следовательно, шаг индукции доказан.

Заключение

Мы доказали базу индукции ($n=2$) и шаг индукции (из истинности для $k$ следует истинность для $k+1$). По принципу математической индукции, исходное неравенство верно для всех целых чисел $n \ge 2$.

Ответ: Неравенство доказано.