Номер 0.43, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.43. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = \{x\} - 3\sin \pi x$;

2) $y = \sin 3x - 2\cos 2x$.

1) $y = \{x\} - 3\sin\pi x$

Данная функция представляет собой разность двух функций: $f(x) = \{x\}$ и $g(x) = 3\sin\pi x$. Чтобы найти наименьший положительный период функции $y(x)$, найдем наименьшие положительные периоды функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем найдем их наименьшее общее кратное (НОК).

1. Найдем период функции $f(x) = \{x\}$ (дробная часть числа $x$).

По определению, $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$.

Мы ищем наименьшее $T > 0$, для которого $\{x+T\} = \{x\}$ для всех $x$.

Наименьший положительный период функции дробной части числа равен $T_1 = 1$, так как $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = x+1 - ([x]+1) = x - [x] = \{x\}$.

2. Найдем период функции $g(x) = 3\sin\pi x$.

Стандартный период функции $\sin(t)$ равен $2\pi$. Период функции $\sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k = \pi$, поэтому наименьший положительный период функции $g(x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

3. Найдем наименьший положительный период исходной функции $y(x)$.

Период суммы (или разности) двух периодических функций с периодами $T_1$ и $T_2$ является их наименьшим общим кратным, если оно существует. В нашем случае периоды $T_1=1$ и $T_2=2$ соизмеримы (их отношение является рациональным числом).

Найдем НОК($T_1, T_2$) = НОК(1, 2).

НОК(1, 2) = 2.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y = \{x\} - 3\sin\pi x$ равен 2.

Проверим: $y(x+2) = \{x+2\} - 3\sin(\pi(x+2)) = \{x\} - 3\sin(\pi x + 2\pi) = \{x\} - 3\sin(\pi x) = y(x)$.

Ответ: 2

2) $y = \sin 3x - 2\cos 2x$

Данная функция представляет собой разность двух функций: $f(x) = \sin 3x$ и $g(x) = 2\cos 2x$. Чтобы найти наименьший положительный период функции $y(x)$, найдем наименьшие положительные периоды функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем найдем их наименьшее общее кратное (НОК).

1. Найдем период функции $f(x) = \sin 3x$.

Период функции $\sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=3$.

Следовательно, период $T_1 = \frac{2\pi}{3}$.

2. Найдем период функции $g(x) = 2\cos 2x$.

Период функции $\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=2$.

Следовательно, период $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Найдем наименьший положительный период исходной функции $y(x)$.

Период $T$ функции $y(x)$ должен быть общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$. То есть, должны существовать такие натуральные числа $n$ и $m$, что $T = n \cdot T_1 = m \cdot T_2$.

$T = n \cdot \frac{2\pi}{3} = m \cdot \pi$.

Сократив на $\pi$, получим: $n \cdot \frac{2}{3} = m$, или $2n = 3m$.

Нам нужно найти наименьшее положительное значение $T$. Это соответствует наименьшим натуральным значениям $n$ и $m$, удовлетворяющим уравнению $2n = 3m$.

Так как 2 и 3 взаимно простые числа, наименьшие натуральные решения этого уравнения: $n=3$ и $m=2$.

Теперь найдем $T$, подставив $n=3$ в формулу для $T_1$ или $m=2$ в формулу для $T_2$.

$T = 3 \cdot T_1 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.

$T = 2 \cdot T_2 = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y = \sin 3x - 2\cos 2x$ равен $2\pi$.

Проверим: $y(x+2\pi) = \sin(3(x+2\pi)) - 2\cos(2(x+2\pi)) = \sin(3x+6\pi) - 2\cos(2x+4\pi) = \sin 3x - 2\cos 2x = y(x)$.

Ответ: $2\pi$