Страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.37. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y + xy = -1, \\ x^2 + y^2 + xy = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{3x - 9y}{x + y} + \frac{2x + y}{x - y} = 4, \\ x^2 - y^2 = 48; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 8, \\ x - y = 2. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x + y + xy = -1, \\ x^2 + y^2 + xy = 3; \end{cases} $
Это симметрическая система. Сделаем замену переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$.
Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Подставим новые переменные в исходную систему:
$ \begin{cases} u + v = -1, \\ (u^2 - 2v) + v = 3; \end{cases} $
Упростим второе уравнение:
$ \begin{cases} u + v = -1, \\ u^2 - v = 3; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(u+v) + (u^2-v) = -1+3$
$u^2 + u = 2$
$u^2 + u - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, корни $u_1 = 1$ и $u_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $v$ для каждого значения $u$ из уравнения $v = -1 - u$.

Случай 1: $u = 1$.
$v = -1 - 1 = -2$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} x+y = 1, \\ xy = -2; \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.
Следовательно, получаем две пары решений: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2: $u = -2$.
$v = -1 - (-2) = 1$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} x+y = -2, \\ xy = 1; \end{cases} $
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-2)t + 1 = 0$, то есть $t^2 + 2t + 1 = 0$.
Это уравнение имеет один корень (кратности 2): $(t+1)^2=0$, откуда $t = -1$.
Следовательно, $x = y = -1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

Ответ: $(-1, -1), (2, -1), (-1, 2)$.

2) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} \frac{3x - 9y}{x + y} + \frac{2x + y}{x - y} = 4, \\ x^2 - y^2 = 48; \end{cases} $
Заметим, что $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$. Из второго уравнения следует, что $x^2 - y^2 \neq 0$, а значит $x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$.
Приведем левую часть первого уравнения к общему знаменателю $(x+y)(x-y)$:
$\frac{(3x - 9y)(x - y) + (2x + y)(x + y)}{(x+y)(x-y)} = 4$
Подставим значение знаменателя из второго уравнения:
$\frac{(3x - 9y)(x - y) + (2x + y)(x + y)}{48} = 4$
$(3x - 9y)(x - y) + (2x + y)(x + y) = 4 \cdot 48 = 192$
Раскроем скобки и упростим:
$(3x^2 - 3xy - 9xy + 9y^2) + (2x^2 + 2xy + xy + y^2) = 192$
$(3x^2 - 12xy + 9y^2) + (2x^2 + 3xy + y^2) = 192$
$5x^2 - 9xy + 10y^2 = 192$
Теперь решаем систему:
$ \begin{cases} 5x^2 - 9xy + 10y^2 = 192, \\ x^2 - y^2 = 48; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x^2 = 48 + y^2$ и подставим в первое:
$5(48 + y^2) - 9xy + 10y^2 = 192$
$240 + 5y^2 - 9xy + 10y^2 = 192$
$15y^2 - 9xy + 48 = 0$
Разделим на 3:
$5y^2 - 3xy + 16 = 0$
Выразим $x$ (при $y \neq 0$, что очевидно, иначе $16=0$):
$3xy = 5y^2 + 16 \implies x = \frac{5y^2+16}{3y}$
Подставим это выражение для $x$ в уравнение $x^2 - y^2 = 48$:
$(\frac{5y^2+16}{3y})^2 - y^2 = 48$
$\frac{25y^4 + 160y^2 + 256}{9y^2} - y^2 = 48$
$25y^4 + 160y^2 + 256 - 9y^4 = 48 \cdot 9y^2 = 432y^2$
$16y^4 - 272y^2 + 256 = 0$
Разделим на 16:
$y^4 - 17y^2 + 16 = 0$
Это биквадратное уравнение. Пусть $z = y^2$, $z > 0$:
$z^2 - 17z + 16 = 0$
Корни по теореме Виета: $z_1 = 16, z_2 = 1$.
Следовательно, $y^2 = 16$ или $y^2 = 1$.

Случай 1: $y^2 = 16 \implies y = \pm 4$.
Из $x^2 = 48 + y^2$ получаем $x^2 = 48 + 16 = 64 \implies x = \pm 8$.
Проверим пары по уравнению связи $3xy = 5y^2 + 16$.
Если $y=4$, то $3x(4) = 5(16)+16 \implies 12x = 96 \implies x=8$. Решение $(8, 4)$.
Если $y=-4$, то $3x(-4) = 5(16)+16 \implies -12x = 96 \implies x=-8$. Решение $(-8, -4)$.

Случай 2: $y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
Из $x^2 = 48 + y^2$ получаем $x^2 = 48 + 1 = 49 \implies x = \pm 7$.
Проверим пары по уравнению связи $3xy = 5y^2 + 16$.
Если $y=1$, то $3x(1) = 5(1)+16 \implies 3x = 21 \implies x=7$. Решение $(7, 1)$.
Если $y=-1$, то $3x(-1) = 5(1)+16 \implies -3x = 21 \implies x=-7$. Решение $(-7, -1)$.

Ответ: $(8, 4), (-8, -4), (7, 1), (-7, -1)$.

3) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x^3 - y^3 = 8, \\ x - y = 2; \end{cases} $
Воспользуемся формулой разности кубов для первого уравнения: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Подставим в нее значения из системы:
$8 = 2 \cdot (x^2+xy+y^2)$
$x^2+xy+y^2 = 4$
Теперь решаем новую, более простую систему:
$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2+xy+y^2 = 4; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x = y+2$ и подставим во второе:
$(y+2)^2 + (y+2)y + y^2 = 4$
$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 4$
$3y^2 + 6y + 4 = 4$
$3y^2 + 6y = 0$
$3y(y+2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1=0$ или $y_2=-2$.

Случай 1: $y = 0$.
Тогда $x = y+2 = 0+2 = 2$. Получаем решение $(2, 0)$.

Случай 2: $y = -2$.
Тогда $x = y+2 = -2+2 = 0$. Получаем решение $(0, -2)$.

Ответ: $(2, 0), (0, -2)$.

0.38. Бригада из 12 рабочих завершила данную работу за 6 дней. За сколько дней завершила бы эту работу бригада из 18 рабочих?

Эта задача на обратную пропорциональность. Количество рабочих и время, необходимое для выполнения работы, являются обратно пропорциональными величинами: чем больше рабочих, тем меньше дней потребуется для выполнения того же объема работы (при условии, что производительность каждого рабочего одинакова).

Способ 1: Использование понятия "человеко-день"

1. Найдем общий объем работы. Объем работы можно измерить в "человеко-днях". Это произведение количества рабочих на количество дней.

Объем работы = $12 \text{ рабочих} \times 6 \text{ дней} = 72$ человеко-дня.

2. Этот же объем работы (72 человеко-дня) должна выполнить бригада из 18 рабочих. Пусть $x$ — это количество дней, которое им потребуется.

$18 \text{ рабочих} \times x \text{ дней} = 72$ человеко-дня.

3. Найдем $x$, разделив общий объем работы на количество рабочих:

$x = \frac{72}{18} = 4$ дня.

Способ 2: Составление пропорции

Пусть $x$ — искомое количество дней. Составим соответствие между количеством рабочих и количеством дней:

12 рабочих — 6 дней

18 рабочих — $x$ дней

Так как зависимость обратная, то есть с увеличением одной величины (число рабочих) другая величина (число дней) уменьшается, пропорция будет выглядеть так (отношение рабочих равно обратному отношению дней):

$\frac{12}{18} = \frac{x}{6}$

Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$18 \cdot x = 12 \cdot 6$

$18x = 72$

$x = \frac{72}{18}$

$x = 4$

Таким образом, бригада из 18 рабочих завершит работу за 4 дня.

Ответ: 4 дня.

0.39. Найдите область определения функции $y = \frac{x-1}{x+2} + \frac{\sqrt{30+x-x^2}}{\sqrt{x^2-2x}}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{x-1}{x+2} + \frac{\sqrt{30 + x - x^2}}{\sqrt{x^2 - 2x}}$ состоит из двух слагаемых, поэтому ее область определения будет являться пересечением областей определения для каждого из них. Для нахождения области определения необходимо учесть следующие ограничения:

1. Знаменатель первой дроби не может быть равен нулю:$x + 2 \neq 0$$x \neq -2$

2. Подрадикальное выражение в числителе второй дроби должно быть неотрицательным (больше или равно нулю):$30 + x - x^2 \ge 0$Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак на противоположный:$x^2 - x - 30 \le 0$Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:$x_1 = -5$ и $x_2 = 6$.Парабола $f(x) = x^2 - x - 30$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает значения меньше или равные нулю на отрезке между корнями.Таким образом, решение этого неравенства: $x \in [-5, 6]$.

3. Подрадикальное выражение в знаменателе второй дроби должно быть строго положительным, так как оно находится под знаком корня и в знаменателе дроби (деление на ноль недопустимо):$x^2 - 2x > 0$Разложим на множители левую часть:$x(x - 2) > 0$Корнями уравнения $x(x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.Парабола $f(x) = x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне отрезка между корнями.Следовательно, решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Для нахождения итоговой области определения функции необходимо найти пересечение всех трех полученных условий:$\begin{cases} x \neq -2 \\ x \in [-5, 6] \\ x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \end{cases}$

Найдем пересечение интервалов $[-5, 6]$ и $((-\infty, 0) \cup (2, \infty))$. Это дает нам объединение двух интервалов: $[-5, 0) \cup (2, 6]$.

Теперь учтем условие $x \neq -2$. Так как значение $-2$ попадает в интервал $[-5, 0)$, мы должны исключить эту точку, разбив интервал на два: $[-5, -2) \cup (-2, 0)$.

Объединив все результаты, получим окончательную область определения функции.

Ответ: $x \in [-5, -2) \cup (-2, 0) \cup (2, 6]$.

0.40. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} \frac{x^2 - 12x + 35}{2x^2 + x - 3} \ge 0, \\ |x - 3| \le 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x + 7}{x - 5} + \frac{3x + 1}{2} \ge 0, \\ |x - 5| \le 2. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x^2 - 12x + 35}{2x^2 + x - 3} \ge 0, \\ |x - 3| \le 5 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $\frac{x^2 - 12x + 35}{2x^2 + x - 3} \ge 0$.

Для этого найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя $x^2 - 12x + 35 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно 35, а их сумма равна 12. Следовательно, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.
Корни знаменателя $2x^2 + x - 3 = 0$. Найдем их через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$. Корни $x_3 = \frac{-1 - 5}{4} = -1.5$ и $x_4 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$.

Теперь неравенство можно переписать в виде: $\frac{(x-5)(x-7)}{2(x+1.5)(x-1)} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси корни числителя (закрашенные точки, так как неравенство нестрогое) и корни знаменателя (выколотые точки, так как на ноль делить нельзя).
Точки: -1.5, 1, 5, 7.

Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1.5) \cup (1, 5] \cup [7, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $|x - 3| \le 5$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству: $-5 \le x - 3 \le 5$.
Прибавим 3 ко всем частям: $-5 + 3 \le x \le 5 + 3$, что дает $-2 \le x \le 8$.
Решение второго неравенства: $x \in [-2, 8]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, -1.5) \cup (1, 5] \cup [7, \infty)) \cap [-2, 8]$.

Области, где штриховки пересекаются, и являются решением системы.
Ответ: $x \in [-2, -1.5) \cup (1, 5] \cup [7, 8]$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0, \\ |x - 5| \le 2 \end{cases} $

Начнем с более простого второго неравенства: $|x - 5| \le 2$.

Оно равносильно двойному неравенству: $-2 \le x - 5 \le 2$.
Прибавив 5 ко всем частям, получаем $3 \le x \le 7$.
Решение второго неравенства: $x \in [3, 7]$.

Теперь решим первое неравенство: $\frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $2(x-5)$:
$\frac{2(x+7) + (3x+1)(x-5)}{2(x-5)} \ge 0$
$\frac{2x+14 + 3x^2 - 15x + x - 5}{2(x-5)} \ge 0$
$\frac{3x^2 - 12x + 9}{2(x-5)} \ge 0$
Разделим числитель на 3, что не изменит знака неравенства:
$\frac{x^2 - 4x + 3}{x-5} \ge 0$

Найдем корни числителя: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1=1, x_2=3$.
Корень знаменателя: $x_3=5$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-3)}{x-5} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Точки 1 и 3 — закрашенные, точка 5 — выколотая.

Решение первого неравенства: $x \in [1, 3] \cup (5, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $([1, 3] \cup (5, \infty)) \cap [3, 7]$.

Пересечение множеств состоит из точки $x=3$ (где пересекаются отрезки $[1,3]$ и $[3,7]$) и интервала $(5, 7]$ (где пересекаются $(5, \infty)$ и $[3,7]$).
Ответ: $x \in \{3\} \cup (5, 7]$.

0.41. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + 2 \cos x$;

2) $2 - 5 \sin x$;

3) $2 - 5|\sin x|$.

1) Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $1 + 2 \cos x$, воспользуемся свойством ограниченности функции косинус.

Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \cos x \le 1$.

Умножим все части неравенства на 2. Так как 2 > 0, знаки неравенства не изменятся:
$2 \cdot (-1) \le 2 \cos x \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2 \cos x \le 2$.

Теперь прибавим ко всем частям неравенства 1:
$-2 + 1 \le 1 + 2 \cos x \le 2 + 1$
$-1 \le 1 + 2 \cos x \le 3$.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -1 (достигается при $\cos x = -1$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $\cos x = 1$).
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 3.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $2 - 5 \sin x$ воспользуемся свойством ограниченности функции синус.

Область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть:
$-1 \le \sin x \le 1$.

Умножим все части неравенства на -5. Так как мы умножаем на отрицательное число (-5 < 0), знаки неравенства изменятся на противоположные:
$(-5) \cdot 1 \le -5 \sin x \le (-5) \cdot (-1)$
$-5 \le -5 \sin x \le 5$.

Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$-5 + 2 \le 2 - 5 \sin x \le 5 + 2$
$-3 \le 2 - 5 \sin x \le 7$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -3 (достигается при $\sin x = 1$), а наибольшее значение равно 7 (достигается при $\sin x = -1$).
Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 7.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения выражения $2 - 5|\sin x|$.

Сначала определим область значений функции $y = |\sin x|$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то модуль этой функции будет принимать значения от 0 до 1 включительно:
$0 \le |\sin x| \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на -5. Знаки неравенства меняются на противоположные, так как -5 < 0:
$(-5) \cdot 1 \le -5|\sin x| \le (-5) \cdot 0$
$-5 \le -5|\sin x| \le 0$.

Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-5 + 2 \le 2 - 5|\sin x| \le 0 + 2$
$-3 \le 2 - 5|\sin x| \le 2$.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -3 (достигается при $|\sin x| = 1$), а наибольшее значение равно 2 (достигается при $|\sin x| = 0$).
Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 2.

0.42. Может ли выполняться равенство:

1) $2\sin x + \cos x = 3$;

2) $5 \sin x - 3\cos x = 8?$

1) 2sin x + cos x = 3;
Для решения этой задачи воспользуемся свойством функции вида $y = a \sin x + b \cos x$. Областью значений такой функции является отрезок $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $-\sqrt{a^2 + b^2} \le a \sin x + b \cos x \le \sqrt{a^2 + b^2}$.
В нашем случае левая часть равенства представляет собой выражение $2\sin x + \cos x$. Здесь коэффициенты $a = 2$ и $b = 1$.
Найдем максимальное и минимальное значения этого выражения:
$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Таким образом, область значений функции $y = 2\sin x + \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$. Это значит, что для любого $x$ выполняется двойное неравенство:
$-\sqrt{5} \le 2\sin x + \cos x \le \sqrt{5}$.
В задаче требуется проверить, может ли это выражение равняться $3$. Для этого сравним $3$ с $\sqrt{5}$.
Так как $3^2 = 9$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$, а $9 > 5$, то $3 > \sqrt{5}$.
Поскольку число $3$ больше, чем максимальное возможное значение выражения $2\sin x + \cos x$ (которое равно $\sqrt{5}$), данное равенство не может выполняться ни при каком значении $x$.
Ответ: нет.

2) 5 sin x - 3cos x = 8?
Мы применим тот же метод, что и в предыдущем пункте. Рассмотрим левую часть равенства, $5 \sin x - 3\cos x$.
Это выражение вида $a \sin x + b \cos x$, где $a = 5$ и $b = -3$.
Найдем область значений этого выражения, которая определяется отрезком $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$.
Вычислим значение $\sqrt{a^2 + b^2}$:
$\sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.
Следовательно, область значений функции $y = 5 \sin x - 3\cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{34}, \sqrt{34}]$. Для любого значения $x$ справедливо неравенство:
$-\sqrt{34} \le 5 \sin x - 3\cos x \le \sqrt{34}$.
Нам нужно выяснить, может ли это выражение быть равным $8$. Сравним $8$ и $\sqrt{34}$.
Возведем оба числа в квадрат: $8^2 = 64$ и $(\sqrt{34})^2 = 34$.
Так как $64 > 34$, то $8 > \sqrt{34}$.
Значение $8$ превышает максимальное возможное значение выражения $5 \sin x - 3\cos x$ (которое равно $\sqrt{34}$), поэтому данное равенство не может выполняться.
Ответ: нет.

0.43. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = \{x\} - 3\sin \pi x$;

2) $y = \sin 3x - 2\cos 2x$.

1) $y = \{x\} - 3\sin\pi x$

Данная функция представляет собой разность двух функций: $f(x) = \{x\}$ и $g(x) = 3\sin\pi x$. Чтобы найти наименьший положительный период функции $y(x)$, найдем наименьшие положительные периоды функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем найдем их наименьшее общее кратное (НОК).

1. Найдем период функции $f(x) = \{x\}$ (дробная часть числа $x$).

По определению, $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$.

Мы ищем наименьшее $T > 0$, для которого $\{x+T\} = \{x\}$ для всех $x$.

Наименьший положительный период функции дробной части числа равен $T_1 = 1$, так как $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = x+1 - ([x]+1) = x - [x] = \{x\}$.

2. Найдем период функции $g(x) = 3\sin\pi x$.

Стандартный период функции $\sin(t)$ равен $2\pi$. Период функции $\sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k = \pi$, поэтому наименьший положительный период функции $g(x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

3. Найдем наименьший положительный период исходной функции $y(x)$.

Период суммы (или разности) двух периодических функций с периодами $T_1$ и $T_2$ является их наименьшим общим кратным, если оно существует. В нашем случае периоды $T_1=1$ и $T_2=2$ соизмеримы (их отношение является рациональным числом).

Найдем НОК($T_1, T_2$) = НОК(1, 2).

НОК(1, 2) = 2.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y = \{x\} - 3\sin\pi x$ равен 2.

Проверим: $y(x+2) = \{x+2\} - 3\sin(\pi(x+2)) = \{x\} - 3\sin(\pi x + 2\pi) = \{x\} - 3\sin(\pi x) = y(x)$.

Ответ: 2

2) $y = \sin 3x - 2\cos 2x$

Данная функция представляет собой разность двух функций: $f(x) = \sin 3x$ и $g(x) = 2\cos 2x$. Чтобы найти наименьший положительный период функции $y(x)$, найдем наименьшие положительные периоды функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем найдем их наименьшее общее кратное (НОК).

1. Найдем период функции $f(x) = \sin 3x$.

Период функции $\sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=3$.

Следовательно, период $T_1 = \frac{2\pi}{3}$.

2. Найдем период функции $g(x) = 2\cos 2x$.

Период функции $\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=2$.

Следовательно, период $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Найдем наименьший положительный период исходной функции $y(x)$.

Период $T$ функции $y(x)$ должен быть общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$. То есть, должны существовать такие натуральные числа $n$ и $m$, что $T = n \cdot T_1 = m \cdot T_2$.

$T = n \cdot \frac{2\pi}{3} = m \cdot \pi$.

Сократив на $\pi$, получим: $n \cdot \frac{2}{3} = m$, или $2n = 3m$.

Нам нужно найти наименьшее положительное значение $T$. Это соответствует наименьшим натуральным значениям $n$ и $m$, удовлетворяющим уравнению $2n = 3m$.

Так как 2 и 3 взаимно простые числа, наименьшие натуральные решения этого уравнения: $n=3$ и $m=2$.

Теперь найдем $T$, подставив $n=3$ в формулу для $T_1$ или $m=2$ в формулу для $T_2$.

$T = 3 \cdot T_1 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.

$T = 2 \cdot T_2 = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y = \sin 3x - 2\cos 2x$ равен $2\pi$.

Проверим: $y(x+2\pi) = \sin(3(x+2\pi)) - 2\cos(2(x+2\pi)) = \sin(3x+6\pi) - 2\cos(2x+4\pi) = \sin 3x - 2\cos 2x = y(x)$.

Ответ: $2\pi$

0.44. Упростите выражение:

1) $ \frac{\sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \cos^2(3\pi - \alpha) + \cos(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\operatorname{tg}^2(\alpha - \frac{\pi}{2})\operatorname{ctg}^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} $;

2) $ \frac{\cos \varphi + \sin \varphi - \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^2 \varphi \cos \varphi}{\sin \varphi \operatorname{tg} \varphi + \cos \varphi \operatorname{ctg} \varphi} $.

1) Упростим выражение по частям. Сначала рассмотрим числитель, используя формулы приведения:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $, поэтому $ \sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $
$ \cos(3\pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $, поэтому $ \cos^2(3\pi - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $
$ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $
$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha $

Подставим эти значения в числитель:

$ \sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \cos^2(3\pi - \alpha) + \cos(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha) = \cos^2\alpha + \cos^2\alpha + (-\cos\alpha)(\cos\alpha) = 2\cos^2\alpha - \cos^2\alpha = \cos^2\alpha $.

Теперь упростим знаменатель, также используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

$ \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \text{tg}(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\text{ctg}\alpha $, поэтому $ \text{tg}^2(\alpha - \frac{\pi}{2}) = (-\text{ctg}\alpha)^2 = \text{ctg}^2\alpha $
$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}\alpha $, поэтому $ \text{ctg}^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = (-\text{tg}\alpha)^2 = \text{tg}^2\alpha $

Подставим эти значения в знаменатель:

$ \text{tg}^2(\alpha - \frac{\pi}{2})\text{ctg}^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \text{ctg}^2\alpha \cdot \text{tg}^2\alpha = (\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha)^2 = 1^2 = 1 $.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{\cos^2\alpha}{1} = \cos^2\alpha $.

Ответ: $ \cos^2\alpha $.

2) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $ \cos \varphi + \sin \varphi - \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^2 \varphi \cos \varphi $. Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos \varphi + \sin \varphi) - (\cos^2 \varphi \sin \varphi + \sin^2 \varphi \cos \varphi) $

Вынесем общие множители за скобки:

$ (\cos \varphi + \sin \varphi) - \sin \varphi \cos \varphi (\cos \varphi + \sin \varphi) $

Теперь вынесем за скобки общий множитель $ (\cos \varphi + \sin \varphi) $:

$ (\cos \varphi + \sin \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi) $.

Знаменатель: $ \sin \varphi \text{tg} \varphi + \cos \varphi \text{ctg} \varphi $. Заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \sin \varphi \cdot \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} + \cos \varphi \cdot \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} = \frac{\sin^2 \varphi}{\cos \varphi} + \frac{\cos^2 \varphi}{\sin \varphi} $

Приведем к общему знаменателю $ \sin \varphi \cos \varphi $:

$ \frac{\sin^3 \varphi + \cos^3 \varphi}{\sin \varphi \cos \varphi} $

Применим формулу суммы кубов $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ к числителю полученного выражения:

$ \sin^3 \varphi + \cos^3 \varphi = (\sin \varphi + \cos \varphi)(\sin^2 \varphi - \sin \varphi \cos \varphi + \cos^2 \varphi) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1 $, получаем:

$ (\sin \varphi + \cos \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi) $.

Таким образом, знаменатель исходной дроби равен:

$ \frac{(\sin \varphi + \cos \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi)}{\sin \varphi \cos \varphi} $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{(\cos \varphi + \sin \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi)}{\frac{(\sin \varphi + \cos \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi)}{\sin \varphi \cos \varphi}} $

Сокращаем дробь на $ (\sin \varphi + \cos \varphi)(1 - \sin \varphi \cos \varphi) $, при условии, что это выражение не равно нулю (что выполняется для области определения исходного выражения), и получаем:

$ 1 \div \frac{1}{\sin \varphi \cos \varphi} = \sin \varphi \cos \varphi $.

Ответ: $ \sin \varphi \cos \varphi $.