Страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.1. Напишите уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$:

1) $(1; 0)$, $R = 2$;

2) $(0; -1)$, $R = 1$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

1) Даны центр окружности в точке $(1; 0)$ и радиус $R = 2$.
Подставим значения $x_0 = 1$, $y_0 = 0$ и $R = 2$ в общее уравнение окружности:
$(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$
Упростим выражение и получим искомое уравнение:
$(x - 1)^2 + y^2 = 4$
Ответ: $(x - 1)^2 + y^2 = 4$

2) Даны центр окружности в точке $(0; -1)$ и радиус $R = 1$.
Подставим значения $x_0 = 0$, $y_0 = -1$ и $R = 1$ в общее уравнение окружности:
$(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = 1^2$
Упростим выражение и получим искомое уравнение:
$x^2 + (y + 1)^2 = 1$
Ответ: $x^2 + (y + 1)^2 = 1$

0.2. Найдите угловой коэффициент прямой и постройте ее график:

1) $y = 2x - 3$;

2) $x - 3y + 4 = 0$;

3) $3x + 4y - 5 = 0$.

1) Уравнение прямой $y = 2x - 3$ уже представлено в виде $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент. Следовательно, угловой коэффициент для этой прямой равен $k = 2$.
Для построения графика найдем координаты двух точек, через которые проходит прямая:
1. При $x = 0$, получаем $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Координаты первой точки: $(0, -3)$.
2. При $y = 0$, получаем $0 = 2x - 3$, откуда $2x = 3$ и $x = 1.5$. Координаты второй точки: $(1.5, 0)$.
Теперь построим график, проведя прямую через эти две точки на координатной плоскости.

Ответ: угловой коэффициент $k=2$.

2) Дано уравнение $x - 3y + 4 = 0$. Чтобы найти угловой коэффициент, приведем это уравнение к виду $y = kx + b$.
$x - 3y + 4 = 0$
$-3y = -x - 4$
$3y = x + 4$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
Отсюда угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$.
Для построения графика найдем две точки:
1. При $x = -4$, получаем $-4 - 3y + 4 = 0 \implies -3y = 0 \implies y=0$. Точка $(-4, 0)$.
2. При $x = 2$, получаем $2 - 3y + 4 = 0 \implies 6 - 3y = 0 \implies 3y = 6 \implies y=2$. Точка $(2, 2)$.
Построим график, проведя прямую через эти точки.

Ответ: угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

3) Дано уравнение $3x + 4y - 5 = 0$. Приведем его к виду $y = kx + b$.
$3x + 4y - 5 = 0$
$4y = -3x + 5$
$y = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$
Угловой коэффициент равен $k = -\frac{3}{4}$.
Для построения графика найдем две точки:
1. При $x = 1$, получаем $3(1) + 4y - 5 = 0 \implies 4y - 2 = 0 \implies 4y = 2 \implies y=0.5$. Точка $(1, 0.5)$.
2. При $x = -3$, получаем $3(-3) + 4y - 5 = 0 \implies -9 + 4y - 5 = 0 \implies 4y - 14 = 0 \implies 4y = 14 \implies y=3.5$. Точка $(-3, 3.5)$.
Построим график, проведя прямую через найденные точки.

Ответ: угловой коэффициент $k = -\frac{3}{4}$.

0.3. Постройте график уравнения:

1) $y = (x + 2)^2 - 3;$

2) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 9;$

3) $y = \frac{2}{x}. $

1) Уравнение $y = (x + 2)^2 - 3$ задает параболу. Ее можно построить путем преобразования графика стандартной параболы $y = x^2$.

1. Базовый график — это парабола $y = x^2$.

2. $(x+2)^2$ означает сдвиг базового графика на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$.

3. Выражение $(x+2)^2 - 3$ означает последующий сдвиг графика на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Таким образом, вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, -3)$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент перед квадратичным членом положителен (равен 1).Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.

Найдем несколько контрольных точек для более точного построения:

• Вершина: $(-2, -3)$.
• Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = (0+2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Точка, симметричная точке $(0, 1)$ относительно оси $x=-2$, имеет абсциссу $x = -4$. При $x=-4$, $y = (-4+2)^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 1$. Точка $(-4, 1)$.
• При $x=-1$: $y = (-1+2)^2 - 3 = 1^2 - 3 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
• При $x=-3$: $y = (-3+2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = -2$. Точка $(-3, -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(-2, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

2) Уравнение $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 9$ является стандартным уравнением окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

1. Сравнивая с общим видом, находим координаты центра окружности $(a, b)$. В данном случае $a = 1$ и $b = -3$. Таким образом, центр окружности находится в точке $(1, -3)$.

2. Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $R^2 = 9$. Следовательно, радиус окружности $R = \sqrt{9} = 3$.

Для построения графика нужно начертить окружность с центром в точке $(1, -3)$ и радиусом, равным 3.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(1, -3)$ и радиусом 3.

3) Уравнение $y = \frac{2}{x}$ задает гиперболу. Это функция обратной пропорциональности.

1. Область определения: $x \ne 0$. Область значений: $y \ne 0$. Это означает, что график не пересекает оси координат.

2. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для графика.

3. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Найдем несколько точек для построения каждой ветви:

• Для I четверти:
  • $x=0.5 \implies y=4$. Точка $(0.5, 4)$.
  • $x=1 \implies y=2$. Точка $(1, 2)$.
  • $x=2 \implies y=1$. Точка $(2, 1)$.
  • $x=4 \implies y=0.5$. Точка $(4, 0.5)$.
• Для III четверти (значения симметричны относительно начала координат):
  • $x=-0.5 \implies y=-4$. Точка $(-0.5, -4)$.
  • $x=-1 \implies y=-2$. Точка $(-1, -2)$.
  • $x=-2 \implies y=-1$. Точка $(-2, -1)$.
  • $x=-4 \implies y=-0.5$. Точка $(-4, -0.5)$.

Ответ: Графиком уравнения является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, асимптотами которой являются оси координат.

0.4. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - y = 1, \\ x + y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x - y = 2. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - y = 1, \\ x + y = 3. \end{cases} $

Для решения этой системы линейных уравнений воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложим почленно левые и правые части уравнений, чтобы исключить переменную $y$:

$(3x - y) + (x + y) = 1 + 3$

$4x = 4$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x = 1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$1 + y = 3$

$y = 3 - 1$

$y = 2$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; 2)$. Проверим, подставив значения в первое уравнение: $3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$. Верно.

Ответ: $(1; 2)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12. \end{cases} $

Эта система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ можно рассматривать как корни квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставив значения из системы, получим уравнение:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться формулой для корней через дискриминант или снова применить теорему Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Легко подобрать корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Это означает, что набор значений для $x$ и $y$ - это $\{3, 4\}$. Следовательно, система имеет два решения:

Первое решение: $x = 3, y = 4$.

Второе решение: $x = 4, y = 3$.

Ответ: $(3; 4), (4; 3)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x - y = 2. \end{cases} $

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = y + 2$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + 2)^2 + y^2 = 4$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(y^2 + 4y + 4) + y^2 = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^2 + 4y + 4 = 4$

$2y^2 + 4y = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:

$2y(y + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$2y = 0 \implies y_1 = 0$

$y + 2 = 0 \implies y_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = y + 2$:

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 2 = 2$. Получаем решение $(2; 0)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 2 = 0$. Получаем решение $(0; -2)$.

Ответ: $(2; 0), (0; -2)$.

0.5. Первая цифра двузначного числа в 2 раза меньше второй цифры, а их произведение равно 18. Найдите это двузначное число.

Для решения задачи введем переменные. Пусть первая цифра двузначного числа (цифра десятков) равна $x$, а вторая цифра (цифра единиц) равна $y$.

Из условия задачи известно, что первая цифра в 2 раза меньше второй. Это можно записать в виде математического равенства:
$y = 2x$

Также известно, что произведение этих цифр равно 18. Это дает нам второе уравнение:
$x \cdot y = 18$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} y = 2x \\ x \cdot y = 18 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе, чтобы найти $x$:
$x \cdot (2x) = 18$
$2x^2 = 18$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 = 9$

Из этого уравнения следует, что $x = 3$ или $x = -3$. Поскольку $x$ является первой цифрой двузначного числа, она должна быть натуральным числом от 1 до 9. Таким образом, отрицательный корень $x = -3$ не подходит. Остается единственный вариант:
$x = 3$

Теперь, зная значение $x$, найдем значение $y$ из первого уравнения:
$y = 2x = 2 \cdot 3 = 6$

Итак, первая цифра числа равна 3, а вторая — 6. Следовательно, искомое двузначное число — это 36.

Проверим, удовлетворяет ли найденное число условиям задачи:
1. Первая цифра (3) в 2 раза меньше второй (6): $3 \cdot 2 = 6$. Условие выполняется.
2. Произведение цифр равно 18: $3 \cdot 6 = 18$. Условие выполняется.

Ответ: 36

0.6. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x+1 \le 7, \\ 5x-2 > 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x-x^2 > 0, \\ 7-3x > 4x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x-2)(x+5) \ge 0, \\ x(x-3) \le 0. \end{cases}$

1) $\begin{cases} x+1 \le 7, \\ 5x - 2 > 6; \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x+1 \le 7$

$x \le 7-1$

$x \le 6$

Решение первого неравенства в виде промежутка: $x \in (-\infty; 6]$.

Решим второе неравенство системы:

$5x - 2 > 6$

$5x > 6+2$

$5x > 8$

$x > \frac{8}{5}$

$x > 1,6$

Решение второго неравенства в виде промежутка: $x \in (1,6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений $(-\infty; 6]$ и $(1,6; +\infty)$. Для наглядности изобразим множества решений на числовой оси:

Пересечением множеств является промежуток, где $x$ больше $1,6$ и меньше или равен $6$.

Ответ: $(1,6; 6]$.

2) $\begin{cases} 6x - x^2 > 0, \\ 7 - 3x > 4x; \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$6x - x^2 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(6 - x) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(6-x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Графиком функции $y = 6x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, значения функции положительны на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (0; 6)$.

Решим второе неравенство:

$7 - 3x > 4x$

$7 > 4x + 3x$

$7 > 7x$

$1 > x$, или $x < 1$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 1)$.

Найдем пересечение решений $(0; 6)$ и $(-\infty; 1)$. Изобразим его на числовой оси:

Пересечением множеств является интервал от $0$ до $1$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) $\begin{cases} (x-2)(x+5) \ge 0, \\ x(x-3) \le 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$(x-2)(x+5) \ge 0$

Корни уравнения $(x-2)(x+5)=0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$. Графиком функции $y = (x-2)(x+5)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при $x$ вне промежутка между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [2; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x(x-3) \le 0$

Корни уравнения $x(x-3)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x(x-3)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) при $x$ на отрезке между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in [0; 3]$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty; -5] \cup [2; +\infty)$ и $[0; 3]$. Изобразим его на числовой оси:

Пересечение отрезка $[0; 3]$ с объединением $(-\infty; -5] \cup [2; +\infty)$ является отрезок $[2; 3]$.

Ответ: $[2; 3]$.

0.7. В какой координатной четверти находится радиус-вектор, определяющий угол:

1) $425^\circ$;

2) $-200^\circ$;

3) $\frac{7\pi}{4}$;

4) $-\frac{5\pi}{3}$?

1) 425°;
Для определения координатной четверти необходимо найти эквивалентный угол в пределах одного полного оборота, то есть в диапазоне от 0° до 360°. Поскольку положение радиус-вектора на окружности повторяется каждые 360°, мы можем отнять от 425° один полный оборот.
$425° - 360° = 65°$
Полученный угол 65° удовлетворяет неравенству $0° < 65° < 90°$. Этот диапазон углов соответствует первой координатной четверти.
Ответ: I четверть.

2) -200°;
Отрицательный угол означает, что отсчет ведется по часовой стрелке от положительного направления оси абсцисс. Чтобы найти соответствующий положительный угол, который определит то же положение радиус-вектора, нужно прибавить 360°.
$-200° + 360° = 160°$
Полученный угол 160° удовлетворяет неравенству $90° < 160° < 180°$. Этот диапазон углов соответствует второй координатной четверти.
Ответ: II четверть.

3) $\frac{7\pi}{4}$;
Угол задан в радианной мере. Границы координатных четвертей в радианах: I (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$), II (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$), III (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$), IV (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$).
Для определения четверти сравним данный угол с ее границами. Представим границы IV четверти со знаменателем 4: $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$ и $2\pi = \frac{8\pi}{4}$.
Так как выполняется двойное неравенство $\frac{6\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} < \frac{8\pi}{4}$, что равносильно $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$, угол находится в четвертой координатной четверти.
Альтернативный способ — перевести радианы в градусы, зная, что $\pi \text{ рад} = 180°$:
$\frac{7\pi}{4} = \frac{7 \cdot 180°}{4} = 7 \cdot 45° = 315°$.
Угол 315° находится в диапазоне $270° < 315° < 360°$, что также соответствует IV четверти.
Ответ: IV четверть.

4) $-\frac{5\pi}{3}$?
Дан отрицательный угол в радианах. Для нахождения его положения найдем эквивалентный ему положительный угол, прибавив полный оборот в радианах, равный $2\pi$.
$-\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$
Полученный угол $\frac{\pi}{3}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. Этот диапазон углов соответствует первой координатной четверти.
Альтернативный способ — перевести радианы в градусы:
$-\frac{5\pi}{3} = -\frac{5 \cdot 180°}{3} = -5 \cdot 60° = -300°$.
Теперь найдем эквивалентный положительный угол, прибавив 360°:
$-300° + 360° = 60°$.
Угол 60° находится в диапазоне $0° < 60° < 90°$, что также соответствует I четверти.
Ответ: I четверть.

0.8. Выразите углы $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, $120^\circ$, $-135^\circ$, $-300^\circ$ в радианной мере.

Для перевода величины угла из градусной меры в радианную используется формула, основанная на соотношении $180° = \pi$ радиан. Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно его величину в градусах умножить на $\frac{\pi}{180°}$.

Формула для перевода: $α_{рад} = α_{град} \cdot \frac{\pi}{180°}$.

Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

30°: $30° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ радиан. Ответ: $\frac{\pi}{6}$

45°: $45° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан. Ответ: $\frac{\pi}{4}$

60°: $60° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан. Ответ: $\frac{\pi}{3}$

90°: $90° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан. Ответ: $\frac{\pi}{2}$

120°: $120° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ радиан. Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

-135°: $-135° \cdot \frac{\pi}{180°} = -\frac{135\pi}{180} = -\frac{3 \cdot 45 \pi}{4 \cdot 45} = -\frac{3\pi}{4}$ радиан. Ответ: $-\frac{3\pi}{4}$

-300°: $-300° \cdot \frac{\pi}{180°} = -\frac{300\pi}{180} = -\frac{5 \cdot 60 \pi}{3 \cdot 60} = -\frac{5\pi}{3}$ радиан. Ответ: $-\frac{5\pi}{3}$

0.9. Выразите углы $\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{4}$, $\pi$, $-\frac{\pi}{4}$, $-3\pi$ в градусной мере.

Для того чтобы выразить углы, заданные в радианной мере, в градусной, необходимо использовать основное соотношение: $\pi \text{ радиан} = 180^\circ$. Чтобы перевести значение угла из радиан в градусы, нужно умножить радианную меру на множитель $\frac{180^\circ}{\pi}$.

$\frac{\pi}{3}$
Для перевода угла $\frac{\pi}{3}$ из радиан в градусы, выполним следующее вычисление:
$\frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

$\frac{3\pi}{2}$
Для перевода угла $\frac{3\pi}{2}$ из радиан в градусы, выполним следующее вычисление:
$\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \cdot \frac{180^\circ}{2} = 3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$.
Ответ: $270^\circ$.

$\frac{7\pi}{4}$
Для перевода угла $\frac{7\pi}{4}$ из радиан в градусы, выполним следующее вычисление:
$\frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 7 \cdot 45^\circ = 315^\circ$.
Ответ: $315^\circ$.

$\pi$
Для перевода угла $\pi$ из радиан в градусы, выполним следующее вычисление:
$\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 180^\circ$.
Ответ: $180^\circ$.

$-\frac{\pi}{4}$
Для перевода угла $-\frac{\pi}{4}$ из радиан в градусы, выполним следующее вычисление:
$-\frac{\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{4} = -45^\circ$.
Ответ: $-45^\circ$.

$-3\pi$
Для перевода угла $-3\pi$ из радиан в градусы, выполним следующее вычисление:
$-3\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -3 \cdot 180^\circ = -540^\circ$.
Ответ: $-540^\circ$.

0.10. Существует ли угол α, при котором верно равенство:

1) $sin \alpha = \frac{12}{11};$

2) $cos \alpha = \frac{11}{12};$

3) $sin \alpha = \frac{1}{2}; cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $sin \alpha = -\frac{1}{3}; cos \alpha = \frac{2}{5};$

5) $\operatorname{tg} \alpha = 100;$

6) $\operatorname{ctg} \alpha = -20?$

1) Для любого угла $\alpha$ значение синуса должно удовлетворять неравенству $-1 \le \sin\alpha \le 1$. В данном случае нам дано $\sin\alpha = \frac{12}{11}$. Так как $12 > 11$, то дробь $\frac{12}{11} > 1$. Поскольку значение $\frac{12}{11}$ выходит за пределы области допустимых значений для синуса, такого угла $\alpha$ не существует.
Ответ: не существует.

2) Для любого угла $\alpha$ значение косинуса должно удовлетворять неравенству $-1 \le \cos\alpha \le 1$. В данном случае нам дано $\cos\alpha = \frac{11}{12}$. Так как $0 < \frac{11}{12} < 1$, это значение находится в допустимом диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, такой угол $\alpha$ существует. Например, $\alpha = \arccos(\frac{11}{12})$.
Ответ: существует.

3) Для того чтобы угол $\alpha$ существовал, значения синуса и косинуса должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Проверим, выполняется ли это тождество для заданных значений $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ и $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим значения в формулу:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Так как тождество выполняется, такой угол $\alpha$ существует. Например, $\alpha = 150^\circ$ или $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: существует.

4) Проверим, удовлетворяют ли заданные значения $\sin\alpha = -\frac{1}{3}$ и $\cos\alpha = \frac{2}{5}$ основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Подставим значения в формулу:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (-\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{5})^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{25} = \frac{25}{225} + \frac{36}{225} = \frac{25+36}{225} = \frac{61}{225}$.
Так как $\frac{61}{225} \neq 1$, основное тригонометрическое тождество не выполняется. Следовательно, не существует такого угла $\alpha$, для которого данные равенства были бы верны одновременно.
Ответ: не существует.

5) Областью значений функции тангенс является множество всех действительных чисел, то есть $\tg\alpha \in (-\infty; +\infty)$. Число $100$ является действительным числом. Следовательно, существует угол $\alpha$, для которого $\tg\alpha = 100$. Например, $\alpha = \arctan(100)$.
Ответ: существует.

6) Областью значений функции котангенс, как и тангенса, является множество всех действительных чисел, то есть $\ctg\alpha \in (-\infty; +\infty)$. Число $-20$ является действительным числом. Следовательно, существует угол $\alpha$, для которого $\ctg\alpha = -20$. Например, $\alpha = \text{arcctg}(-20)$.
Ответ: существует.