Страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.29. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 1}{\sin^2 \alpha} = 2;$

2) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} - \operatorname{ctg}^2 \alpha = 0;$

3) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \beta.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Подставим это выражение в числитель исходной дроби:
$\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + (1 - \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.
При условии, что $\sin^2 \alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin^2 \alpha$:
$\frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой части ($2=2$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следуют два равенства: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ и $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Подставим эти выражения в первую дробь левой части:
$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha$.
По определению котангенса, $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, а значит $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 0$.
Левая часть тождества равна правой ($0=0$), что и требовалось доказать. Тождество справедливо при $\sin \alpha \neq 0$.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Воспользуемся соотношением между тангенсом и котангенсом: $\text{tg} x = \frac{1}{\text{ctg} x}$.
Заменим тангенсы в знаменателе дроби на котангенсы:
$\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta = \frac{1}{\text{ctg} \alpha} + \frac{1}{\text{ctg} \beta}$.
Приведем это выражение к общему знаменателю:
$\frac{1}{\text{ctg} \alpha} + \frac{1}{\text{ctg} \beta} = \frac{\text{ctg} \beta + \text{ctg} \alpha}{\text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \beta}$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в знаменатель исходной дроби:
$\frac{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta} = \frac{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}{\frac{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \beta}}$.
Это многоэтажная дробь. Чтобы от нее избавиться, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:
$(\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta) \cdot \frac{\text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}$.
При условии, что $\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta \neq 0$ и все входящие в тождество функции определены, сокращаем выражение на $(\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta)$:
$\text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \beta$.
Левая часть тождества стала равна правой, значит, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

0.30. Найдите значение выражения $ \frac{3\sin x + \cos x}{\sin x - 4\cos x} $, если $ \text{tg}x = 3 $.

Для того чтобы найти значение выражения, воспользуемся определением тангенса: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Поскольку нам дано значение $\tan x = 3$, это означает, что $\cos x \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить и числитель, и знаменатель исходной дроби на $\cos x$, не опасаясь деления на ноль. Это позволит нам перейти от синусов и косинусов к тангенсам.

Исходное выражение: $ \frac{3\sin x + \cos x}{\sin x - 4\cos x} $

Разделим числитель и знаменатель на $\cos x$: $ \frac{\frac{3\sin x + \cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x - 4\cos x}{\cos x}} = \frac{\frac{3\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{4\cos x}{\cos x}} $

Зная, что $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ и $\frac{\cos x}{\cos x} = 1$, заменим дроби в выражении: $ \frac{3\tan x + 1}{\tan x - 4} $

Теперь подставим заданное значение $\tan x = 3$ в полученное выражение и вычислим его значение: $ \frac{3 \cdot 3 + 1}{3 - 4} = \frac{9 + 1}{-1} = \frac{10}{-1} = -10 $

Ответ: -10

0.31. Дана последовательность:

1) 1, 4, 7, 10, 13, ...;

2) $ \frac{1}{2} $, $ \frac{4}{5} $, $ \frac{9}{10} $, $ \frac{16}{17} $, ...;

3) 1, -2, 3, -4, 5, -6, ...

Напишите формулу общего члена последовательности. Определите, является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной сверху или снизу.

1) Дана последовательность $1, 4, 7, 10, 13, \dots$.
Это арифметическая прогрессия, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна: $4 - 1 = 3$, $7 - 4 = 3$ и т.д. Первый член прогрессии $a_1 = 1$, а разность $d = 3$.
Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получаем: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2$.
Для определения монотонности сравним $a_{n+1}$ и $a_n$. $a_{n+1} - a_n = (3(n+1) - 2) - (3n - 2) = 3n + 3 - 2 - 3n + 2 = 3$.
Поскольку $a_{n+1} - a_n = 3 > 0$ для любого натурального $n$, последовательность является строго возрастающей.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $a_1=1$.
Поскольку при $n \to \infty$ значение $a_n = 3n - 2$ неограниченно возрастает, последовательность не ограничена сверху.
Ответ: Формула общего члена $a_n = 3n - 2$. Последовательность является возрастающей и ограниченной снизу.

2) Дана последовательность $\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$.
Проанализируем числители и знаменатели. Числители: $1, 4, 9, 16, \dots$ — это квадраты натуральных чисел, то есть $n^2$.
Знаменатели: $2, 5, 10, 17, \dots$. Каждый знаменатель на единицу больше соответствующего числителя: $2=1^2+1, 5=2^2+1, 10=3^2+1, \dots$. Значит, знаменатель равен $n^2+1$.
Формула общего члена последовательности: $a_n = \frac{n^2}{n^2+1}$.
Для исследования на монотонность представим $a_n$ в виде $a_n = \frac{n^2+1-1}{n^2+1} = 1 - \frac{1}{n^2+1}$. С увеличением $n$ знаменатель $n^2+1$ возрастает, следовательно, дробь $\frac{1}{n^2+1}$ убывает. Тогда разность $1 - \frac{1}{n^2+1}$ возрастает. Таким образом, $a_{n+1} > a_n$, и последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $a_1 = \frac{1}{2}$.
Для любого натурального $n$ справедливо неравенство $n^2 < n^2+1$, поэтому $a_n = \frac{n^2}{n^2+1} < 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху, например, числом 1.
Ответ: Формула общего члена $a_n = \frac{n^2}{n^2+1}$. Последовательность является возрастающей, ограниченной снизу и сверху.

3) Дана последовательность $1, -2, 3, -4, 5, -6, \dots$.
Абсолютные значения членов последовательности образуют ряд натуральных чисел: $|a_n| = n$.
Знаки членов чередуются, начиная с положительного. Для нечетных $n$ знак положительный, для четных — отрицательный. Такое чередование можно задать с помощью множителя $(-1)^{n+1}$.
Формула общего члена последовательности: $a_n = (-1)^{n+1}n$.
Для определения монотонности рассмотрим первые несколько членов: $a_1 = 1, a_2 = -2, a_3 = 3$. Так как $a_1 > a_2$ и $a_2 < a_3$, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (т.е. немонотонна).
Подпоследовательность членов с нечетными номерами $1, 3, 5, \dots$ ($a_{2k-1} = 2k-1$) стремится к $+\infty$, поэтому последовательность не ограничена сверху.
Подпоследовательность членов с четными номерами $-2, -4, -6, \dots$ ($a_{2k} = -2k$) стремится к $-\infty$, поэтому последовательность не ограничена снизу.
Ответ: Формула общего члена $a_n = (-1)^{n+1}n$. Последовательность не является монотонной и не ограничена ни сверху, ни снизу.

0.32. Известно, что ${a_n}$ – арифметическая прогрессия, в которой

1) $a_1 + a_{10} = 12$, $a_8 - a_5 = 4$;

2) $a_5 + a_{11} = -0.2$, $a_4 + a_{10} = 2.6$.

Найдите первый член, разность, сумму первых 6 членов и общий член этой прогрессии.

1) Дано: $a_1 + a_{10} = 12$ и $a_8 - a_5 = 4$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой $a_m - a_k = (m-k)d$.

Из условия $a_8 - a_5 = 4$ получаем:

$(8-5)d = 4$

$3d = 4$

$d = \frac{4}{3}$

Для нахождения первого члена $a_1$ используем формулу общего члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ и подставим ее в первое условие $a_1 + a_{10} = 12$.

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$.

Тогда уравнение принимает вид:

$a_1 + (a_1 + 9d) = 12$

$2a_1 + 9d = 12$

Подставим найденное значение $d = \frac{4}{3}$ в это уравнение:

$2a_1 + 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$

$2a_1 + 3 \cdot 4 = 12$

$2a_1 + 12 = 12$

$2a_1 = 0$

$a_1 = 0$

Теперь можем записать формулу общего члена прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d = 0 + (n-1)\frac{4}{3} = \frac{4(n-1)}{3}$.

Найдем сумму первых 6 членов прогрессии $S_6$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_6 = \frac{2 \cdot 0 + (6-1)\frac{4}{3}}{2} \cdot 6 = \frac{5 \cdot \frac{4}{3}}{2} \cdot 6 = \frac{20/3}{2} \cdot 6 = \frac{10}{3} \cdot 6 = 20$.

Ответ: первый член $a_1 = 0$, разность $d = \frac{4}{3}$, сумма первых 6 членов $S_6 = 20$, общий член $a_n = \frac{4(n-1)}{3}$.

2) Дано: $a_5 + a_{11} = -0,2$ и $a_4 + a_{10} = 2,6$.

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$ с помощью формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$ и составим систему уравнений.

Из первого условия $a_5 + a_{11} = -0,2$:

$(a_1 + (5-1)d) + (a_1 + (11-1)d) = -0,2$

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 10d) = -0,2$

$2a_1 + 14d = -0,2$

Из второго условия $a_4 + a_{10} = 2,6$:

$(a_1 + (4-1)d) + (a_1 + (10-1)d) = 2,6$

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 2,6$

$2a_1 + 12d = 2,6$

Получим систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 14d = -0,2 \\ 2a_1 + 12d = 2,6 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $d$:

$(2a_1 + 14d) - (2a_1 + 12d) = -0,2 - 2,6$

$2d = -2,8$

$d = -1,4$

Подставим значение $d$ во второе уравнение системы, чтобы найти $a_1$:

$2a_1 + 12(-1,4) = 2,6$

$2a_1 - 16,8 = 2,6$

$2a_1 = 2,6 + 16,8$

$2a_1 = 19,4$

$a_1 = 9,7$

Теперь запишем формулу общего члена прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d = 9,7 + (n-1)(-1,4) = 9,7 - 1,4n + 1,4 = 11,1 - 1,4n$.

Найдем сумму первых 6 членов прогрессии $S_6$ по формуле $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

$S_6 = \frac{6}{2}(2 \cdot 9,7 + (6-1)(-1,4)) = 3(19,4 + 5(-1,4)) = 3(19,4 - 7) = 3 \cdot 12,4 = 37,2$.

Ответ: первый член $a_1 = 9,7$, разность $d = -1,4$, сумма первых 6 членов $S_6 = 37,2$, общий член $a_n = 11,1 - 1,4n$.

0.33. Дана геометрическая прогрессия ${b_n}$:

1) $3, 3^2, 3^3, \dots$;

2) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$

Найдите знаменатель, общий член и сумму первых 5 членов этой прогрессии.

1) Дана геометрическая прогрессия $3, 3^2, 3^3, \dots$

Это геометрическая прогрессия $\{b_n\}$, где первый член $b_1 = 3$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Возьмем второй и первый члены:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3^2}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

Общий член геометрической прогрессии $b_n$ находится по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим известные значения $b_1=3$ и $q=3$:

$b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^1 \cdot 3^{n-1} = 3^{1+n-1} = 3^n$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

Найдем сумму первых 5 членов, то есть $S_5$ (при $n=5$):

$S_5 = \frac{3(3^5-1)}{3-1} = \frac{3(243-1)}{2} = \frac{3 \cdot 242}{2} = 3 \cdot 121 = 363$.

Ответ: знаменатель $q=3$, общий член $b_n = 3^n$, сумма первых 5 членов $S_5 = 363$.

2) Дана геометрическая прогрессия $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$

Это геометрическая прогрессия $\{b_n\}$, где первый член $b_1 = \frac{1}{2}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Общий член геометрической прогрессии $b_n$ находится по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим известные значения $b_1=\frac{1}{2}$ и $q=\frac{1}{2}$:

$b_n = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1+n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ (эта форма записи удобна, когда $|q|<1$).

Найдем сумму первых 5 членов, то есть $S_5$ (при $n=5$):

$S_5 = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{32}\right)}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{32} = \frac{32}{32} - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$.

Ответ: знаменатель $q=\frac{1}{2}$, общий член $b_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$, сумма первых 5 членов $S_5 = \frac{31}{32}$.

0.34. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превышающих 150.

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны 7 и не превышают 150. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 7, то есть $a_1 = 7$.

Разность этой прогрессии ($d$) также равна 7, поскольку мы ищем числа, кратные 7.

Чтобы найти последний член прогрессии ($a_n$), не превышающий 150, разделим 150 на 7: $150 \div 7 = 21$ (остаток 3). Это означает, что наибольшее число до 150, которое делится на 7 без остатка, — это $7 \times 21$. Таким образом, последний член прогрессии $a_n = 147$.

Количество членов прогрессии ($n$) равно 21, так как мы имеем последовательность $7 \times 1, 7 \times 2, \dots, 7 \times 21$.

Сумму $n$ членов арифметической прогрессии находим по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения: $a_1 = 7$, $a_n = 147$ и $n = 21$. $S_{21} = \frac{7 + 147}{2} \cdot 21 = \frac{154}{2} \cdot 21 = 77 \cdot 21 = 1617$

Ответ: 1617

0.35. Постройте график уравнения:

1) $y = |x^2 - 4 \cdot |x| + 3|$;

2) $|x| \cdot y = 1$;

3) $x \cdot |y| = 1$.

1) y = |x² - 4·|x| + 3|

Сначала заметим, что $x^2 = |x|^2$. Поэтому уравнение можно переписать в виде $y = ||x|^2 - 4|x| + 3|$. Эта функция является четной, так как значение $y$ не меняется при замене $x$ на $-x$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить его относительно оси Oy, чтобы получить полный график.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = |x^2 - 4x + 3|$. Чтобы построить этот график, сначала рассмотрим параболу $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее нули: $x^2 - 4x + 3 = 0$, по теореме Виета $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Вершина параболы находится в точке $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Значение в вершине: $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

График функции $y = |x^2 - 4x + 3|$ получается из графика параболы $f(x) = x^2 - 4x + 3$ следующим образом: часть параболы, которая находится ниже оси Ox (т.е. при $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. В нашем случае, это участок между корнями $x=1$ и $x=3$. Вершина $(2, -1)$ отражается в точку $(2, 1)$.

Таким образом, для $x \ge 0$ график состоит из трех участков: сначала участок параболы $y = x^2 - 4x + 3$ на отрезке $[0, 1]$, который проходит через точки $(0, 3)$ и $(1, 0)$; затем участок отраженной параболы $y = -(x^2 - 4x + 3)$ на отрезке $[1, 3]$, который проходит через $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(3, 0)$; и, наконец, участок параболы $y = x^2 - 4x + 3$ при $x \ge 3$, который проходит через $(3, 0)$ и возрастает. Отражая полученный для $x \ge 0$ график относительно оси Oy, мы получаем полный график уравнения.

Ответ: Графиком уравнения является кривая, симметричная относительно оси Oy, состоящая из частей парабол. Она имеет локальные максимумы в точках $(0, 3)$ и $(\pm2, 1)$ и минимумы (нули) в точках $(\pm1, 0)$ и $(\pm3, 0)$.

2) |x|·y = 1

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$. Так как в уравнении присутствует $|x|$, то $x \neq 0$. $y = \frac{1}{|x|}$. Функция является четной, так как $y(x) = \frac{1}{|x|}$ и $y(-x) = \frac{1}{|-x|} = \frac{1}{|x|} = y(x)$. Следовательно, график симметричен относительно оси Oy. Рассмотрим два случая:

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первом координатном квадранте.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $y = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во втором координатном квадранте.

Объединяя оба случая, получаем график, состоящий из двух ветвей.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных квадрантах и симметричных относительно оси Oy.

3) x·|y| = 1

Преобразуем уравнение, выразив $|y|$ через $x$. Так как в уравнении есть произведение $x \cdot |y|$, то $x \neq 0$ и $y \neq 0$. $|y| = \frac{1}{x}$. Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, $|y| \ge 0$, то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $\frac{1}{x} \ge 0$. Это неравенство выполняется только при $x > 0$. Следовательно, график уравнения существует только в правой полуплоскости (I и IV квадранты).

Раскроем модуль $y$: $|y| = \frac{1}{x}$ эквивалентно совокупности двух уравнений: 1. $y = \frac{1}{x}$, при $x > 0$. Это ветвь гиперболы в I квадранте. 2. $y = -\frac{1}{x}$, при $x > 0$. Это ветвь гиперболы в IV квадранте.

Таким образом, график симметричен относительно оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и IV координатных квадрантах и симметричных относительно оси Ox.

0.36. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 - px + q$ расположена в точке $(1; -2)$?

Для нахождения значений параметров $p$ и $q$ воспользуемся свойствами вершины параболы.

Уравнение параболы дано в виде $y = x^2 - px + q$. Это квадратичная функция общего вида $y = ax^2 + bx + c$, где в нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=-p$ и $c=q$.

Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам. Абсцисса вершины находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

По условию задачи, вершина параболы расположена в точке $(1; -2)$. Следовательно, мы знаем координаты вершины: $x_0 = 1$ и $y_0 = -2$.

Подставим известные значения $x_0=1$, $a=1$ и $b=-p$ в формулу для абсциссы вершины:

$1 = -\frac{-p}{2 \cdot 1}$

Упростим полученное выражение:

$1 = \frac{p}{2}$

Из этого уравнения легко найти значение параметра $p$:

$p = 1 \cdot 2 = 2$

Теперь, когда мы нашли значение $p$, мы можем найти значение $q$. Поскольку точка $(1; -2)$ является вершиной, она принадлежит параболе. Это значит, что ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x=1$, $y=-2$ и найденное нами $p=2$ в исходное уравнение $y = x^2 - px + q$:

$-2 = (1)^2 - (2)(1) + q$

Выполним арифметические действия:

$-2 = 1 - 2 + q$

$-2 = -1 + q$

Из этого уравнения выражаем $q$:

$q = -2 + 1$

$q = -1$

Таким образом, мы определили, что для того, чтобы вершина параболы находилась в точке $(1; -2)$, параметры должны быть $p=2$ и $q=-1$.

Ответ: $p=2, q=-1$.