Номер 0.31, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.31. Дана последовательность:

1) 1, 4, 7, 10, 13, ...;

2) $ \frac{1}{2} $, $ \frac{4}{5} $, $ \frac{9}{10} $, $ \frac{16}{17} $, ...;

3) 1, -2, 3, -4, 5, -6, ...

Напишите формулу общего члена последовательности. Определите, является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной сверху или снизу.

1) Дана последовательность $1, 4, 7, 10, 13, \dots$.
Это арифметическая прогрессия, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна: $4 - 1 = 3$, $7 - 4 = 3$ и т.д. Первый член прогрессии $a_1 = 1$, а разность $d = 3$.
Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получаем: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2$.
Для определения монотонности сравним $a_{n+1}$ и $a_n$. $a_{n+1} - a_n = (3(n+1) - 2) - (3n - 2) = 3n + 3 - 2 - 3n + 2 = 3$.
Поскольку $a_{n+1} - a_n = 3 > 0$ для любого натурального $n$, последовательность является строго возрастающей.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $a_1=1$.
Поскольку при $n \to \infty$ значение $a_n = 3n - 2$ неограниченно возрастает, последовательность не ограничена сверху.
Ответ: Формула общего члена $a_n = 3n - 2$. Последовательность является возрастающей и ограниченной снизу.

2) Дана последовательность $\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$.
Проанализируем числители и знаменатели. Числители: $1, 4, 9, 16, \dots$ — это квадраты натуральных чисел, то есть $n^2$.
Знаменатели: $2, 5, 10, 17, \dots$. Каждый знаменатель на единицу больше соответствующего числителя: $2=1^2+1, 5=2^2+1, 10=3^2+1, \dots$. Значит, знаменатель равен $n^2+1$.
Формула общего члена последовательности: $a_n = \frac{n^2}{n^2+1}$.
Для исследования на монотонность представим $a_n$ в виде $a_n = \frac{n^2+1-1}{n^2+1} = 1 - \frac{1}{n^2+1}$. С увеличением $n$ знаменатель $n^2+1$ возрастает, следовательно, дробь $\frac{1}{n^2+1}$ убывает. Тогда разность $1 - \frac{1}{n^2+1}$ возрастает. Таким образом, $a_{n+1} > a_n$, и последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $a_1 = \frac{1}{2}$.
Для любого натурального $n$ справедливо неравенство $n^2 < n^2+1$, поэтому $a_n = \frac{n^2}{n^2+1} < 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху, например, числом 1.
Ответ: Формула общего члена $a_n = \frac{n^2}{n^2+1}$. Последовательность является возрастающей, ограниченной снизу и сверху.

3) Дана последовательность $1, -2, 3, -4, 5, -6, \dots$.
Абсолютные значения членов последовательности образуют ряд натуральных чисел: $|a_n| = n$.
Знаки членов чередуются, начиная с положительного. Для нечетных $n$ знак положительный, для четных — отрицательный. Такое чередование можно задать с помощью множителя $(-1)^{n+1}$.
Формула общего члена последовательности: $a_n = (-1)^{n+1}n$.
Для определения монотонности рассмотрим первые несколько членов: $a_1 = 1, a_2 = -2, a_3 = 3$. Так как $a_1 > a_2$ и $a_2 < a_3$, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (т.е. немонотонна).
Подпоследовательность членов с нечетными номерами $1, 3, 5, \dots$ ($a_{2k-1} = 2k-1$) стремится к $+\infty$, поэтому последовательность не ограничена сверху.
Подпоследовательность членов с четными номерами $-2, -4, -6, \dots$ ($a_{2k} = -2k$) стремится к $-\infty$, поэтому последовательность не ограничена снизу.
Ответ: Формула общего члена $a_n = (-1)^{n+1}n$. Последовательность не является монотонной и не ограничена ни сверху, ни снизу.