Номер 0.25, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.25. Найдите значение выражения $sin \alpha - \cos^2 \alpha + \sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha$ при:

1) $\alpha = \frac{4\pi}{3}$;

2) $\alpha = 300^\circ$;

3) $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

1) при $ \alpha = \frac{4\pi}{3} $

Для нахождения значения выражения, сначала вычислим значения тригонометрических функций для угла $ \alpha = \frac{4\pi}{3} $. Этот угол находится в III четверти координатной плоскости.

1. $ \sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

2. $ \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $

3. $ \tg(\frac{4\pi}{3}) = \tg(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение $ \sin\alpha - \cos^2\alpha + \sqrt{3}\tg\alpha $:

$ \sin(\frac{4\pi}{3}) - \cos^2(\frac{4\pi}{3}) + \sqrt{3}\tg(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{1}{2})^2 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} $

Упростим полученное выражение:

$ -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} + 3 = 3 - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{11}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

2) при $ \alpha = 300^\circ $

Вычислим значения тригонометрических функций для угла $ \alpha = 300^\circ $. Этот угол находится в IV четверти.

1. $ \sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

2. $ \cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $

3. $ \tg(300^\circ) = \tg(360^\circ - 60^\circ) = -\tg(60^\circ) = -\sqrt{3} $

Подставим найденные значения в выражение:

$ \sin(300^\circ) - \cos^2(300^\circ) + \sqrt{3}\tg(300^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - (\frac{1}{2})^2 + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) $

Упростим полученное выражение:

$ -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} - 3 = -3 - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{12}{4} - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{13}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ -\frac{13}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

3) при $ \alpha = -\frac{5\pi}{4} $

Вычислим значения тригонометрических функций для угла $ \alpha = -\frac{5\pi}{4} $. Для удобства приведем угол к положительному значению в пределах от $0$ до $2\pi$: $ -\frac{5\pi}{4} + 2\pi = -\frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $. Этот угол находится во II четверти.

1. $ \sin(-\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

2. $ \cos(-\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

3. $ \tg(-\frac{5\pi}{4}) = \tg(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sin(\frac{3\pi}{4})}{\cos(\frac{3\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 $

Подставим найденные значения в выражение:

$ \sin(-\frac{5\pi}{4}) - \cos^2(-\frac{5\pi}{4}) + \sqrt{3}\tg(-\frac{5\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3} \cdot (-1) $

Упростим полученное выражение:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2}{4} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} - \sqrt{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} - \sqrt{3} $