Номер 0.29, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.29. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 1}{\sin^2 \alpha} = 2;$

2) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} - \operatorname{ctg}^2 \alpha = 0;$

3) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \beta.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Подставим это выражение в числитель исходной дроби:
$\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + (1 - \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.
При условии, что $\sin^2 \alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin^2 \alpha$:
$\frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой части ($2=2$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следуют два равенства: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ и $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Подставим эти выражения в первую дробь левой части:
$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha$.
По определению котангенса, $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, а значит $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 0$.
Левая часть тождества равна правой ($0=0$), что и требовалось доказать. Тождество справедливо при $\sin \alpha \neq 0$.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Воспользуемся соотношением между тангенсом и котангенсом: $\text{tg} x = \frac{1}{\text{ctg} x}$.
Заменим тангенсы в знаменателе дроби на котангенсы:
$\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta = \frac{1}{\text{ctg} \alpha} + \frac{1}{\text{ctg} \beta}$.
Приведем это выражение к общему знаменателю:
$\frac{1}{\text{ctg} \alpha} + \frac{1}{\text{ctg} \beta} = \frac{\text{ctg} \beta + \text{ctg} \alpha}{\text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \beta}$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в знаменатель исходной дроби:
$\frac{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta} = \frac{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}{\frac{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \beta}}$.
Это многоэтажная дробь. Чтобы от нее избавиться, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:
$(\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta) \cdot \frac{\text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}$.
При условии, что $\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta \neq 0$ и все входящие в тождество функции определены, сокращаем выражение на $(\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta)$:
$\text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \beta$.
Левая часть тождества стала равна правой, значит, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.