Номер 0.35, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.35. Постройте график уравнения:

1) $y = |x^2 - 4 \cdot |x| + 3|$;

2) $|x| \cdot y = 1$;

3) $x \cdot |y| = 1$.

1) y = |x² - 4·|x| + 3|

Сначала заметим, что $x^2 = |x|^2$. Поэтому уравнение можно переписать в виде $y = ||x|^2 - 4|x| + 3|$. Эта функция является четной, так как значение $y$ не меняется при замене $x$ на $-x$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить его относительно оси Oy, чтобы получить полный график.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = |x^2 - 4x + 3|$. Чтобы построить этот график, сначала рассмотрим параболу $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее нули: $x^2 - 4x + 3 = 0$, по теореме Виета $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Вершина параболы находится в точке $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Значение в вершине: $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

График функции $y = |x^2 - 4x + 3|$ получается из графика параболы $f(x) = x^2 - 4x + 3$ следующим образом: часть параболы, которая находится ниже оси Ox (т.е. при $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. В нашем случае, это участок между корнями $x=1$ и $x=3$. Вершина $(2, -1)$ отражается в точку $(2, 1)$.

Таким образом, для $x \ge 0$ график состоит из трех участков: сначала участок параболы $y = x^2 - 4x + 3$ на отрезке $[0, 1]$, который проходит через точки $(0, 3)$ и $(1, 0)$; затем участок отраженной параболы $y = -(x^2 - 4x + 3)$ на отрезке $[1, 3]$, который проходит через $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(3, 0)$; и, наконец, участок параболы $y = x^2 - 4x + 3$ при $x \ge 3$, который проходит через $(3, 0)$ и возрастает. Отражая полученный для $x \ge 0$ график относительно оси Oy, мы получаем полный график уравнения.

Ответ: Графиком уравнения является кривая, симметричная относительно оси Oy, состоящая из частей парабол. Она имеет локальные максимумы в точках $(0, 3)$ и $(\pm2, 1)$ и минимумы (нули) в точках $(\pm1, 0)$ и $(\pm3, 0)$.

2) |x|·y = 1

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$. Так как в уравнении присутствует $|x|$, то $x \neq 0$. $y = \frac{1}{|x|}$. Функция является четной, так как $y(x) = \frac{1}{|x|}$ и $y(-x) = \frac{1}{|-x|} = \frac{1}{|x|} = y(x)$. Следовательно, график симметричен относительно оси Oy. Рассмотрим два случая:

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первом координатном квадранте.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $y = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во втором координатном квадранте.

Объединяя оба случая, получаем график, состоящий из двух ветвей.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных квадрантах и симметричных относительно оси Oy.

3) x·|y| = 1

Преобразуем уравнение, выразив $|y|$ через $x$. Так как в уравнении есть произведение $x \cdot |y|$, то $x \neq 0$ и $y \neq 0$. $|y| = \frac{1}{x}$. Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, $|y| \ge 0$, то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $\frac{1}{x} \ge 0$. Это неравенство выполняется только при $x > 0$. Следовательно, график уравнения существует только в правой полуплоскости (I и IV квадранты).

Раскроем модуль $y$: $|y| = \frac{1}{x}$ эквивалентно совокупности двух уравнений: 1. $y = \frac{1}{x}$, при $x > 0$. Это ветвь гиперболы в I квадранте. 2. $y = -\frac{1}{x}$, при $x > 0$. Это ветвь гиперболы в IV квадранте.

Таким образом, график симметричен относительно оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и IV координатных квадрантах и симметричных относительно оси Ox.