Номер 0.32, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.32. Известно, что ${a_n}$ – арифметическая прогрессия, в которой

1) $a_1 + a_{10} = 12$, $a_8 - a_5 = 4$;

2) $a_5 + a_{11} = -0.2$, $a_4 + a_{10} = 2.6$.

Найдите первый член, разность, сумму первых 6 членов и общий член этой прогрессии.

1) Дано: $a_1 + a_{10} = 12$ и $a_8 - a_5 = 4$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой $a_m - a_k = (m-k)d$.

Из условия $a_8 - a_5 = 4$ получаем:

$(8-5)d = 4$

$3d = 4$

$d = \frac{4}{3}$

Для нахождения первого члена $a_1$ используем формулу общего члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ и подставим ее в первое условие $a_1 + a_{10} = 12$.

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$.

Тогда уравнение принимает вид:

$a_1 + (a_1 + 9d) = 12$

$2a_1 + 9d = 12$

Подставим найденное значение $d = \frac{4}{3}$ в это уравнение:

$2a_1 + 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$

$2a_1 + 3 \cdot 4 = 12$

$2a_1 + 12 = 12$

$2a_1 = 0$

$a_1 = 0$

Теперь можем записать формулу общего члена прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d = 0 + (n-1)\frac{4}{3} = \frac{4(n-1)}{3}$.

Найдем сумму первых 6 членов прогрессии $S_6$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_6 = \frac{2 \cdot 0 + (6-1)\frac{4}{3}}{2} \cdot 6 = \frac{5 \cdot \frac{4}{3}}{2} \cdot 6 = \frac{20/3}{2} \cdot 6 = \frac{10}{3} \cdot 6 = 20$.

Ответ: первый член $a_1 = 0$, разность $d = \frac{4}{3}$, сумма первых 6 членов $S_6 = 20$, общий член $a_n = \frac{4(n-1)}{3}$.

2) Дано: $a_5 + a_{11} = -0,2$ и $a_4 + a_{10} = 2,6$.

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$ с помощью формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$ и составим систему уравнений.

Из первого условия $a_5 + a_{11} = -0,2$:

$(a_1 + (5-1)d) + (a_1 + (11-1)d) = -0,2$

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 10d) = -0,2$

$2a_1 + 14d = -0,2$

Из второго условия $a_4 + a_{10} = 2,6$:

$(a_1 + (4-1)d) + (a_1 + (10-1)d) = 2,6$

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 2,6$

$2a_1 + 12d = 2,6$

Получим систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 14d = -0,2 \\ 2a_1 + 12d = 2,6 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $d$:

$(2a_1 + 14d) - (2a_1 + 12d) = -0,2 - 2,6$

$2d = -2,8$

$d = -1,4$

Подставим значение $d$ во второе уравнение системы, чтобы найти $a_1$:

$2a_1 + 12(-1,4) = 2,6$

$2a_1 - 16,8 = 2,6$

$2a_1 = 2,6 + 16,8$

$2a_1 = 19,4$

$a_1 = 9,7$

Теперь запишем формулу общего члена прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d = 9,7 + (n-1)(-1,4) = 9,7 - 1,4n + 1,4 = 11,1 - 1,4n$.

Найдем сумму первых 6 членов прогрессии $S_6$ по формуле $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

$S_6 = \frac{6}{2}(2 \cdot 9,7 + (6-1)(-1,4)) = 3(19,4 + 5(-1,4)) = 3(19,4 - 7) = 3 \cdot 12,4 = 37,2$.

Ответ: первый член $a_1 = 9,7$, разность $d = -1,4$, сумма первых 6 членов $S_6 = 37,2$, общий член $a_n = 11,1 - 1,4n$.