Номер 0.27, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.27. Определите знак выражения:

1) $ \cos 40^\circ \cdot \sin 120^\circ \cdot \operatorname{tg} 150^\circ $;

2) $ \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} $;

3) $ \cos 8 \cdot \sin 5 $.

1) cos 40° · sin 120° · tg 150°
Для определения знака выражения необходимо определить знак каждого множителя, используя тригонометрическую окружность.
- Угол 40° принадлежит I четверти ($0° < 40° < 90°$). В I четверти косинус положителен, поэтому $cos 40° > 0$.
- Угол 120° принадлежит II четверти ($90° < 120° < 180°$). Во II четверти синус положителен, поэтому $sin 120° > 0$.
- Угол 150° принадлежит II четверти ($90° < 150° < 180°$). Во II четверти тангенс отрицателен, поэтому $tg 150° < 0$.
Знак всего произведения определяется произведением знаков множителей:
$(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.
Следовательно, выражение имеет отрицательный знак.
Ответ: знак минус (-).

2) tg $\frac{5\pi}{4}$ · ctg $\frac{\pi}{6}$
Определим знак каждого множителя.
- Определим, в какой четверти находится угол $\frac{5\pi}{4}$. Поскольку $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$, этот угол принадлежит III четверти. В III четверти тангенс положителен, поэтому $tg \frac{5\pi}{4} > 0$.
- Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит I четверти ($0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$). В I четверти котангенс положителен, поэтому $ctg \frac{\pi}{6} > 0$.
Знак произведения:
$(+) \cdot (+) = (+)$.
Следовательно, выражение имеет положительный знак.
Ответ: знак плюс (+).

3) cos 8 · sin 5
Углы 8 и 5 заданы в радианах. Для определения их четвертей используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.
Вычислим значения, кратные $\frac{\pi}{2}$:
$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$; $\pi \approx 3.14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$; $2\pi \approx 6.28$; $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$; $3\pi \approx 9.42$.
- Определим знак $cos 8$. Угол 8 радиан находится в промежутке $\frac{5\pi}{2} < 8 < 3\pi$ (так как $7.85 < 8 < 9.42$). Этот промежуток соответствует II координатной четверти (если вычесть полный оборот $2\pi$). Во II четверти косинус отрицателен, поэтому $cos 8 < 0$.
- Определим знак $sin 5$. Угол 5 радиан находится в промежутке $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ (так как $4.71 < 5 < 6.28$). Этот промежуток соответствует IV координатной четверти. В IV четверти синус отрицателен, поэтому $sin 5 < 0$.
Знак произведения:
$(-) \cdot (-) = (+)$.
Следовательно, выражение имеет положительный знак.
Ответ: знак плюс (+).