Номер 0.21, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.21. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} |x-1|+y=2, \\ x+y=3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1, \\ x+y=4; \end{cases}$

3) $ \begin{cases} 2x^2-3xy-19y^2=8, \\ x^2-6y^2=3. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} |x-1| + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение системы: $|x-1| + (3-x) = 2$
Упростим полученное уравнение: $|x-1| = 2 - 3 + x$
$|x-1| = x - 1$
Равенство вида $|a| = a$ является верным тогда и только тогда, когда подмодульное выражение неотрицательно, то есть $a \ge 0$. В нашем случае это означает, что $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Таким образом, решением системы является любая пара чисел $(x, y)$, для которой выполняется условие $x \ge 1$, а $y$ находится из соотношения $y = 3 - x$.
Ответ: $(x, 3-x)$ при $x \ge 1$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ x + y = 4 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $\frac{y+x}{xy} = 1$
Из второго уравнения системы мы знаем, что $x+y=4$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение: $\frac{4}{xy} = 1$
Отсюда следует, что $xy = 4$. Теперь мы имеем новую, более простую систему: $ \begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 4 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим известные значения суммы и произведения: $t^2 - 4t + 4 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(t-2)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень (кратности 2): $t=2$. Следовательно, $x=2$ и $y=2$. Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(2, 2)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 3xy - 19y^2 = 8 \\ x^2 - 6y^2 = 3 \end{cases} $
Это система, левые части уравнений которой являются однородными многочленами второй степени. Чтобы решить ее, исключим свободные члены. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 8: $ \begin{cases} 3(2x^2 - 3xy - 19y^2) = 24 \\ 8(x^2 - 6y^2) = 24 \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x^2 - 9xy - 57y^2 = 24 \\ 8x^2 - 48y^2 = 24 \end{cases} $
Приравняем левые части уравнений, так как их правые части равны: $6x^2 - 9xy - 57y^2 = 8x^2 - 48y^2$
Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые: $2x^2 + 9xy + 9y^2 = 0$
Это однородное уравнение. Заметим, что $y \ne 0$, так как если $y=0$, то из исходной системы получаем $2x^2=8$ и $x^2=3$, что является противоречием. Разделим уравнение на $y^2$: $2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 9\left(\frac{x}{y}\right) + 9 = 0$
Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$: $2t^2 + 9t + 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$. $t_1 = \frac{-9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$
$t_2 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
Теперь рассмотрим два случая:
1) $\frac{x}{y} = -3 \implies x = -3y$. Подставим это в уравнение $x^2 - 6y^2 = 3$: $(-3y)^2 - 6y^2 = 3 \implies 9y^2 - 6y^2 = 3 \implies 3y^2 = 3 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y=1$ (и $x=-3$) или $y=-1$ (и $x=3$). Получаем два решения: $(-3, 1)$ и $(3, -1)$.
2) $\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \implies x = -\frac{3}{2}y$. Подставим это в уравнение $x^2 - 6y^2 = 3$: $\left(-\frac{3}{2}y\right)^2 - 6y^2 = 3 \implies \frac{9}{4}y^2 - 6y^2 = 3 \implies 9y^2 - 24y^2 = 12 \implies -15y^2 = 12 \implies y^2 = -\frac{4}{5}$. Это уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: $(-3, 1), (3, -1)$.