Номер 0.15, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.15. Упростите выражение:

1) $ \text{tg } \alpha - \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} $;

2) $ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $;

3) $ \text{tg}(3\pi + \alpha)\sin(270^{\circ} - \alpha) + \sin \alpha $;

4) $ \frac{1 - \cos^2 (90^{\circ} + \alpha)}{\cos(\alpha + 4\pi)} $.

1) Заменим $\text{tg}\ \alpha$ на отношение $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и приведем дроби к общему знаменателю:

$\text{tg}\ \alpha - \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - (\sin \alpha - 1)}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - \sin \alpha + 1}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos \alpha}$.

2) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha \cdot \sin \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$, получаем:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1$.

Ответ: 1.

3) Упростим выражение, используя формулы приведения и свойство периодичности тригонометрических функций.

Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(3\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha)$.

По формуле приведения для синуса: $\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ (угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен, а функция меняется на кофункцию).

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\text{tg}(3\pi + \alpha)\sin(270^\circ - \alpha) + \sin \alpha = \text{tg}(\alpha) \cdot (-\cos \alpha) + \sin \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot (-\cos \alpha) + \sin \alpha = -\sin \alpha + \sin \alpha = 0$.

Ответ: 0.

4) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Знаменатель: Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $\cos(\alpha + 4\pi) = \cos(\alpha + 2 \cdot 2\pi) = \cos \alpha$.

Числитель: $1 - \cos^2(90^\circ + \alpha)$. Сначала упростим выражение в скобках. По формуле приведения $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$ (угол $90^\circ + \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен, а функция меняется на кофункцию).

Тогда числитель равен $1 - (-\sin \alpha)^2 = 1 - \sin^2 \alpha$.

Из основного тригонометрического тождества имеем $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{1 - \cos^2(90^\circ + \alpha)}{\cos(\alpha + 4\pi)} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha$.

Ответ: $\cos \alpha$.