Номер 0.11, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.11. Найдите значение выражения:

1) $2\sqrt{3} \sin 60^\circ + 4 \cos 60^\circ$;

2) $\sqrt{3} \operatorname{ctg} 30^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ$;

3) $\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} + \sqrt{3} \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}$;

4) $\sin \frac{\pi}{6} - 2\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4}$.

1) Для вычисления значения выражения $2\sqrt{3}\sin{60^\circ} + 4\cos{60^\circ}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Известно, что $\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2\sqrt{3}\sin{60^\circ} + 4\cos{60^\circ} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2 = 3 + 2 = 5$

Ответ: 5

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3}\operatorname{ctg}{30^\circ} - \operatorname{tg}{45^\circ}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Известно, что $\operatorname{ctg}{30^\circ} = \sqrt{3}$ и $\operatorname{tg}{45^\circ} = 1$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\sqrt{3}\operatorname{ctg}{30^\circ} - \operatorname{tg}{45^\circ} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1$

Теперь выполним вычисления:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1 = 3 - 1 = 2$

Ответ: 2

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{4}} + \sqrt{3}\operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций для углов в радианах.

Известно, что $\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{4}} + \sqrt{3}\operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь выполним вычисления:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} + 1 = \frac{2}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2

4) Для вычисления значения выражения $\sin{\frac{\pi}{6}} - 2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{4}}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций для углов в радианах.

Известно, что $\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$ и $\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\sin{\frac{\pi}{6}} - 2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$\frac{1}{2} - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: -1.5