Номер 0.13, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.13. Определите знак выражения:

1) $\sin 460^\circ;$

2) $\cos 460^\circ;$

3) $\operatorname{tg} 200^\circ;$

4) $\operatorname{ctg} 280^\circ.$

Для определения знака тригонометрического выражения необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Знаки тригонометрических функций по четвертям на единичной окружности распределяются следующим образом:

I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$): все функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) положительны.
II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$): только синус положителен, остальные отрицательны.
III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$): тангенс и котангенс положительны, остальные отрицательны.
IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$): только косинус положителен, остальные отрицательны.

Если угол больше $360^\circ$, нужно вычесть из него $360^\circ$ (или кратное $360^\circ$), чтобы получить угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$. Это не изменит значения тригонометрической функции из-за их периодичности.

1) sin 460°
Угол $460^\circ$ больше $360^\circ$. Найдем эквивалентный ему угол в пределах одного оборота: $460^\circ - 360^\circ = 100^\circ$.
Следовательно, $\sin 460^\circ = \sin 100^\circ$.
Угол $100^\circ$ находится в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$, что соответствует II координатной четверти.
Во II четверти синус имеет положительный знак.
Ответ: плюс (+).

2) cos 460°
Так же, как и в предыдущем пункте, приводим угол к основному диапазону: $460^\circ = 360^\circ + 100^\circ$.
Следовательно, $\cos 460^\circ = \cos 100^\circ$.
Угол $100^\circ$ находится во II четверти.
Во II четверти косинус имеет отрицательный знак.
Ответ: минус (–).

3) tg 200°
Угол $200^\circ$ находится в диапазоне от $180^\circ$ до $270^\circ$, что соответствует III координатной четверти.
В III четверти тангенс имеет положительный знак.
Ответ: плюс (+).

4) ctg 280°
Угол $280^\circ$ находится в диапазоне от $270^\circ$ до $360^\circ$, что соответствует IV координатной четверти.
В IV четверти котангенс имеет отрицательный знак.
Ответ: минус (–).