Номер 0.6, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.6. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x+1 \le 7, \\ 5x-2 > 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x-x^2 > 0, \\ 7-3x > 4x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x-2)(x+5) \ge 0, \\ x(x-3) \le 0. \end{cases}$

1) $\begin{cases} x+1 \le 7, \\ 5x - 2 > 6; \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x+1 \le 7$

$x \le 7-1$

$x \le 6$

Решение первого неравенства в виде промежутка: $x \in (-\infty; 6]$.

Решим второе неравенство системы:

$5x - 2 > 6$

$5x > 6+2$

$5x > 8$

$x > \frac{8}{5}$

$x > 1,6$

Решение второго неравенства в виде промежутка: $x \in (1,6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений $(-\infty; 6]$ и $(1,6; +\infty)$. Для наглядности изобразим множества решений на числовой оси:

Пересечением множеств является промежуток, где $x$ больше $1,6$ и меньше или равен $6$.

Ответ: $(1,6; 6]$.

2) $\begin{cases} 6x - x^2 > 0, \\ 7 - 3x > 4x; \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$6x - x^2 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(6 - x) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(6-x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Графиком функции $y = 6x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, значения функции положительны на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (0; 6)$.

Решим второе неравенство:

$7 - 3x > 4x$

$7 > 4x + 3x$

$7 > 7x$

$1 > x$, или $x < 1$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 1)$.

Найдем пересечение решений $(0; 6)$ и $(-\infty; 1)$. Изобразим его на числовой оси:

Пересечением множеств является интервал от $0$ до $1$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) $\begin{cases} (x-2)(x+5) \ge 0, \\ x(x-3) \le 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$(x-2)(x+5) \ge 0$

Корни уравнения $(x-2)(x+5)=0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$. Графиком функции $y = (x-2)(x+5)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при $x$ вне промежутка между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [2; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x(x-3) \le 0$

Корни уравнения $x(x-3)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x(x-3)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) при $x$ на отрезке между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in [0; 3]$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty; -5] \cup [2; +\infty)$ и $[0; 3]$. Изобразим его на числовой оси:

Пересечение отрезка $[0; 3]$ с объединением $(-\infty; -5] \cup [2; +\infty)$ является отрезок $[2; 3]$.

Ответ: $[2; 3]$.