Номер 0.10, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.10. Существует ли угол α, при котором верно равенство:

1) $sin \alpha = \frac{12}{11};$

2) $cos \alpha = \frac{11}{12};$

3) $sin \alpha = \frac{1}{2}; cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $sin \alpha = -\frac{1}{3}; cos \alpha = \frac{2}{5};$

5) $\operatorname{tg} \alpha = 100;$

6) $\operatorname{ctg} \alpha = -20?$

1) Для любого угла $\alpha$ значение синуса должно удовлетворять неравенству $-1 \le \sin\alpha \le 1$. В данном случае нам дано $\sin\alpha = \frac{12}{11}$. Так как $12 > 11$, то дробь $\frac{12}{11} > 1$. Поскольку значение $\frac{12}{11}$ выходит за пределы области допустимых значений для синуса, такого угла $\alpha$ не существует.
Ответ: не существует.

2) Для любого угла $\alpha$ значение косинуса должно удовлетворять неравенству $-1 \le \cos\alpha \le 1$. В данном случае нам дано $\cos\alpha = \frac{11}{12}$. Так как $0 < \frac{11}{12} < 1$, это значение находится в допустимом диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, такой угол $\alpha$ существует. Например, $\alpha = \arccos(\frac{11}{12})$.
Ответ: существует.

3) Для того чтобы угол $\alpha$ существовал, значения синуса и косинуса должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Проверим, выполняется ли это тождество для заданных значений $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ и $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим значения в формулу:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Так как тождество выполняется, такой угол $\alpha$ существует. Например, $\alpha = 150^\circ$ или $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: существует.

4) Проверим, удовлетворяют ли заданные значения $\sin\alpha = -\frac{1}{3}$ и $\cos\alpha = \frac{2}{5}$ основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Подставим значения в формулу:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (-\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{5})^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{25} = \frac{25}{225} + \frac{36}{225} = \frac{25+36}{225} = \frac{61}{225}$.
Так как $\frac{61}{225} \neq 1$, основное тригонометрическое тождество не выполняется. Следовательно, не существует такого угла $\alpha$, для которого данные равенства были бы верны одновременно.
Ответ: не существует.

5) Областью значений функции тангенс является множество всех действительных чисел, то есть $\tg\alpha \in (-\infty; +\infty)$. Число $100$ является действительным числом. Следовательно, существует угол $\alpha$, для которого $\tg\alpha = 100$. Например, $\alpha = \arctan(100)$.
Ответ: существует.

6) Областью значений функции котангенс, как и тангенса, является множество всех действительных чисел, то есть $\ctg\alpha \in (-\infty; +\infty)$. Число $-20$ является действительным числом. Следовательно, существует угол $\alpha$, для которого $\ctg\alpha = -20$. Например, $\alpha = \text{arcctg}(-20)$.
Ответ: существует.