Номер 0.14, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.14. Найдите значения тригонометрических функций угла α, если:

1) $\alpha = 300^\circ$;

2) $\alpha = -690^\circ$;

3) $\alpha = \frac{5\pi}{6}$;

4) $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$.

1) Для нахождения значений тригонометрических функций угла $α = 300°$ воспользуемся формулами приведения. Угол $300°$ находится в IV четверти, где синус и тангенс/котангенс отрицательны, а косинус положителен. Представим угол $300°$ в виде разности $360° - 60°$.
$\sin(300°) = \sin(360° - 60°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(300°) = \cos(360° - 60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
$\text{tg}(300°) = \frac{\sin(300°)}{\cos(300°)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$
$\text{ctg}(300°) = \frac{1}{\text{tg}(300°)} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\sin(300°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(300°) = \frac{1}{2}$, $\text{tg}(300°) = -\sqrt{3}$, $\text{ctg}(300°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Для угла $α = -690°$ сначала найдем соответствующий ему наименьший положительный угол. Поскольку тригонометрические функции периодичны с периодом $360°$ ($2\pi$), мы можем прибавлять или вычитать любое целое число, умноженное на $360°$.
$-690° + 2 \cdot 360° = -690° + 720° = 30°$.
Таким образом, значения тригонометрических функций для угла $-690°$ совпадают со значениями для угла $30°$. Угол $30°$ находится в I четверти, где все тригонометрические функции положительны.
$\sin(-690°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$
$\cos(-690°) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{tg}(-690°) = \text{tg}(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{ctg}(-690°) = \text{ctg}(30°) = \sqrt{3}$
Ответ: $\sin(-690°) = \frac{1}{2}$, $\cos(-690°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg}(-690°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\text{ctg}(-690°) = \sqrt{3}$.

3) Для угла $α = \frac{5\pi}{6}$ используем формулы приведения. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во II четверти, где синус положителен, а косинус и тангенс/котангенс отрицательны. Представим угол в виде разности $\pi - \frac{\pi}{6}$.
$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$
$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\sin(5\pi/6)}{\cos(5\pi/6)} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{ctg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{\text{tg}(5\pi/6)} = -\sqrt{3}$
Ответ: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\text{ctg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$.

4) Для угла $α = -\frac{3\pi}{4}$ найдем соответствующий ему положительный угол в пределах от $0$ до $2\pi$. Период тригонометрических функций равен $2\pi$.
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в III четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны. Представим угол в виде суммы $\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{tg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sin(-3\pi/4)}{\cos(-3\pi/4)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1$
$\text{ctg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{\text{tg}(-3\pi/4)} = 1$
Ответ: $\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\text{tg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = 1$, $\text{ctg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = 1$.