Номер 0.19, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.19. Определите координаты центра и радиус окружности:

1) $x^2 + y^2 - 4x + 12y + 4 = 0$;

2) $x^2 + y^2 - 9x = 0$.

1) $x^2 + y^2 - 4x + 12y + 4 = 0$

Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, приведем данное уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус окружности. Для этого сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 12y) + 4 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$. В нашем случае $m=x$, а $2mn = 4x$, откуда $n=2$. Нам не хватает $n^2=2^2=4$. Добавим и вычтем 4:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$

Выделим полный квадрат для выражения с $y$. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$. Здесь $m=y$, а $2mn = 12y$, откуда $n=6$. Нам не хватает $n^2=6^2=36$. Добавим и вычтем 36:

$(y^2 + 12y + 36) - 36 = (y+6)^2 - 36$

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$((x-2)^2 - 4) + ((y+6)^2 - 36) + 4 = 0$

Упростим выражение:

$(x-2)^2 + (y+6)^2 - 4 - 36 + 4 = 0$

$(x-2)^2 + (y+6)^2 - 36 = 0$

$(x-2)^2 + (y+6)^2 = 36$

Теперь уравнение имеет канонический вид. Сравнивая его с $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, находим:

Координаты центра $(a; b)$ равны $(2; -6)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 36$, следовательно, радиус $R = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: Координаты центра $(2; -6)$, радиус $R = 6$.

2) $x^2 + y^2 - 9x = 0$

Аналогично первому пункту, приведем уравнение к каноническому виду. Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 9x) + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Здесь $m=x$, $2mn=9x$, значит $n = \frac{9}{2}$. Нам не хватает $n^2 = (\frac{9}{2})^2 = \frac{81}{4}$. Добавим и вычтем это значение:

$(x^2 - 9x + \frac{81}{4}) - \frac{81}{4} = (x - \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4}$

Для переменной $y$ выражение уже является полным квадратом, так как его можно записать как $(y - 0)^2$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$((x - \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4}) + (y - 0)^2 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x - \frac{9}{2})^2 + (y - 0)^2 = \frac{81}{4}$

Сравнивая полученное уравнение с каноническим видом $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, находим:

Координаты центра $(a; b)$ равны $(\frac{9}{2}; 0)$ или $(4.5; 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = \frac{81}{4}$, следовательно, радиус $R = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: Координаты центра $(\frac{9}{2}; 0)$, радиус $R = \frac{9}{2}$.