Номер 0.16, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.16. Дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Напишите общий член и первые 5 членов этой прогрессии. Найдите сумму первых 5 членов при:

1) $a_1 = 3, d = 2;$

2) $a_1 = 1,8, d = -0,3.$

1) Для арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 2$.
Общий член прогрессии.
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1=3$ и $d=2$.
$a_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.
Первые 5 членов прогрессии.
$a_1 = 3$
$a_2 = a_1 + d = 3 + 2 = 5$
$a_3 = a_2 + d = 5 + 2 = 7$
$a_4 = a_3 + d = 7 + 2 = 9$
$a_5 = a_4 + d = 9 + 2 = 11$
Таким образом, первые 5 членов прогрессии: 3, 5, 7, 9, 11.
Сумма первых 5 членов.
Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Для нахождения суммы первых 5 членов ($S_5$) используем $n=5$, $a_1=3$ и $a_5=11$.
$S_5 = \frac{3 + 11}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$.
Ответ: общий член $a_n = 2n + 1$; первые 5 членов: 3, 5, 7, 9, 11; сумма первых 5 членов $S_5 = 35$.

2) Для арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 1,8$ и разностью $d = -0,3$.
Общий член прогрессии.
Используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1=1,8$ и $d=-0,3$.
$a_n = 1,8 + (n-1) \cdot (-0,3) = 1,8 - 0,3n + 0,3 = 2,1 - 0,3n$.
Первые 5 членов прогрессии.
$a_1 = 1,8$
$a_2 = a_1 + d = 1,8 + (-0,3) = 1,5$
$a_3 = a_2 + d = 1,5 + (-0,3) = 1,2$
$a_4 = a_3 + d = 1,2 + (-0,3) = 0,9$
$a_5 = a_4 + d = 0,9 + (-0,3) = 0,6$
Таким образом, первые 5 членов прогрессии: 1,8; 1,5; 1,2; 0,9; 0,6.
Сумма первых 5 членов.
Используем формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Для нахождения суммы первых 5 членов ($S_5$) используем $n=5$, $a_1=1,8$ и $a_5=0,6$.
$S_5 = \frac{1,8 + 0,6}{2} \cdot 5 = \frac{2,4}{2} \cdot 5 = 1,2 \cdot 5 = 6$.
Ответ: общий член $a_n = 2,1 - 0,3n$; первые 5 членов: 1,8; 1,5; 1,2; 0,9; 0,6; сумма первых 5 членов $S_5 = 6$.