Страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.11. Найдите значение выражения:

1) $2\sqrt{3} \sin 60^\circ + 4 \cos 60^\circ$;

2) $\sqrt{3} \operatorname{ctg} 30^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ$;

3) $\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} + \sqrt{3} \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}$;

4) $\sin \frac{\pi}{6} - 2\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4}$.

1) Для вычисления значения выражения $2\sqrt{3}\sin{60^\circ} + 4\cos{60^\circ}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Известно, что $\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2\sqrt{3}\sin{60^\circ} + 4\cos{60^\circ} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2 = 3 + 2 = 5$

Ответ: 5

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3}\operatorname{ctg}{30^\circ} - \operatorname{tg}{45^\circ}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Известно, что $\operatorname{ctg}{30^\circ} = \sqrt{3}$ и $\operatorname{tg}{45^\circ} = 1$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\sqrt{3}\operatorname{ctg}{30^\circ} - \operatorname{tg}{45^\circ} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1$

Теперь выполним вычисления:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1 = 3 - 1 = 2$

Ответ: 2

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{4}} + \sqrt{3}\operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций для углов в радианах.

Известно, что $\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{4}} + \sqrt{3}\operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь выполним вычисления:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} + 1 = \frac{2}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2

4) Для вычисления значения выражения $\sin{\frac{\pi}{6}} - 2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{4}}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций для углов в радианах.

Известно, что $\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$ и $\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\sin{\frac{\pi}{6}} - 2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$\frac{1}{2} - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: -1.5

0.12. Упростите выражение:

1) $ \cos^2 \alpha - 1; $

2) $ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2\sin \alpha \cos \alpha. $

1) Чтобы упростить выражение $ \cos^2 \alpha - 1 $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Из этого тождества следует, что $ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $.
Для наглядности, преобразуем тождество: $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $.
Теперь рассмотрим исходное выражение: $ \cos^2 \alpha - 1 $. Вынесем минус за скобку: $ -(1 - \cos^2 \alpha) $.
Заменим выражение в скобках на $ \sin^2 \alpha $: $ -(\sin^2 \alpha) = -\sin^2 \alpha $.
Ответ: $ -\sin^2 \alpha $.

2) Чтобы упростить выражение $ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2\sin \alpha \cos \alpha $, раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha $.
Теперь подставим полученное выражение в исходное: $ (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin \alpha \cos \alpha $.
Сократим подобные слагаемые $ 2\sin \alpha \cos \alpha $ и $ -2\sin \alpha \cos \alpha $: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + (2\sin \alpha \cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $.
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

0.13. Определите знак выражения:

1) $\sin 460^\circ;$

2) $\cos 460^\circ;$

3) $\operatorname{tg} 200^\circ;$

4) $\operatorname{ctg} 280^\circ.$

Для определения знака тригонометрического выражения необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Знаки тригонометрических функций по четвертям на единичной окружности распределяются следующим образом:

I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$): все функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) положительны.
II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$): только синус положителен, остальные отрицательны.
III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$): тангенс и котангенс положительны, остальные отрицательны.
IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$): только косинус положителен, остальные отрицательны.

Если угол больше $360^\circ$, нужно вычесть из него $360^\circ$ (или кратное $360^\circ$), чтобы получить угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$. Это не изменит значения тригонометрической функции из-за их периодичности.

1) sin 460°
Угол $460^\circ$ больше $360^\circ$. Найдем эквивалентный ему угол в пределах одного оборота: $460^\circ - 360^\circ = 100^\circ$.
Следовательно, $\sin 460^\circ = \sin 100^\circ$.
Угол $100^\circ$ находится в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$, что соответствует II координатной четверти.
Во II четверти синус имеет положительный знак.
Ответ: плюс (+).

2) cos 460°
Так же, как и в предыдущем пункте, приводим угол к основному диапазону: $460^\circ = 360^\circ + 100^\circ$.
Следовательно, $\cos 460^\circ = \cos 100^\circ$.
Угол $100^\circ$ находится во II четверти.
Во II четверти косинус имеет отрицательный знак.
Ответ: минус (–).

3) tg 200°
Угол $200^\circ$ находится в диапазоне от $180^\circ$ до $270^\circ$, что соответствует III координатной четверти.
В III четверти тангенс имеет положительный знак.
Ответ: плюс (+).

4) ctg 280°
Угол $280^\circ$ находится в диапазоне от $270^\circ$ до $360^\circ$, что соответствует IV координатной четверти.
В IV четверти котангенс имеет отрицательный знак.
Ответ: минус (–).

0.14. Найдите значения тригонометрических функций угла α, если:

1) $\alpha = 300^\circ$;

2) $\alpha = -690^\circ$;

3) $\alpha = \frac{5\pi}{6}$;

4) $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$.

1) Для нахождения значений тригонометрических функций угла $α = 300°$ воспользуемся формулами приведения. Угол $300°$ находится в IV четверти, где синус и тангенс/котангенс отрицательны, а косинус положителен. Представим угол $300°$ в виде разности $360° - 60°$.
$\sin(300°) = \sin(360° - 60°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(300°) = \cos(360° - 60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
$\text{tg}(300°) = \frac{\sin(300°)}{\cos(300°)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$
$\text{ctg}(300°) = \frac{1}{\text{tg}(300°)} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\sin(300°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(300°) = \frac{1}{2}$, $\text{tg}(300°) = -\sqrt{3}$, $\text{ctg}(300°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Для угла $α = -690°$ сначала найдем соответствующий ему наименьший положительный угол. Поскольку тригонометрические функции периодичны с периодом $360°$ ($2\pi$), мы можем прибавлять или вычитать любое целое число, умноженное на $360°$.
$-690° + 2 \cdot 360° = -690° + 720° = 30°$.
Таким образом, значения тригонометрических функций для угла $-690°$ совпадают со значениями для угла $30°$. Угол $30°$ находится в I четверти, где все тригонометрические функции положительны.
$\sin(-690°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$
$\cos(-690°) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{tg}(-690°) = \text{tg}(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{ctg}(-690°) = \text{ctg}(30°) = \sqrt{3}$
Ответ: $\sin(-690°) = \frac{1}{2}$, $\cos(-690°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg}(-690°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\text{ctg}(-690°) = \sqrt{3}$.

3) Для угла $α = \frac{5\pi}{6}$ используем формулы приведения. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во II четверти, где синус положителен, а косинус и тангенс/котангенс отрицательны. Представим угол в виде разности $\pi - \frac{\pi}{6}$.
$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$
$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\sin(5\pi/6)}{\cos(5\pi/6)} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{ctg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{\text{tg}(5\pi/6)} = -\sqrt{3}$
Ответ: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\text{ctg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$.

4) Для угла $α = -\frac{3\pi}{4}$ найдем соответствующий ему положительный угол в пределах от $0$ до $2\pi$. Период тригонометрических функций равен $2\pi$.
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в III четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны. Представим угол в виде суммы $\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{tg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sin(-3\pi/4)}{\cos(-3\pi/4)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1$
$\text{ctg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{\text{tg}(-3\pi/4)} = 1$
Ответ: $\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\text{tg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = 1$, $\text{ctg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = 1$.

0.15. Упростите выражение:

1) $ \text{tg } \alpha - \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} $;

2) $ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $;

3) $ \text{tg}(3\pi + \alpha)\sin(270^{\circ} - \alpha) + \sin \alpha $;

4) $ \frac{1 - \cos^2 (90^{\circ} + \alpha)}{\cos(\alpha + 4\pi)} $.

1) Заменим $\text{tg}\ \alpha$ на отношение $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и приведем дроби к общему знаменателю:

$\text{tg}\ \alpha - \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - (\sin \alpha - 1)}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - \sin \alpha + 1}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos \alpha}$.

2) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha \cdot \sin \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$, получаем:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1$.

Ответ: 1.

3) Упростим выражение, используя формулы приведения и свойство периодичности тригонометрических функций.

Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(3\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha)$.

По формуле приведения для синуса: $\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ (угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен, а функция меняется на кофункцию).

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\text{tg}(3\pi + \alpha)\sin(270^\circ - \alpha) + \sin \alpha = \text{tg}(\alpha) \cdot (-\cos \alpha) + \sin \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot (-\cos \alpha) + \sin \alpha = -\sin \alpha + \sin \alpha = 0$.

Ответ: 0.

4) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Знаменатель: Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $\cos(\alpha + 4\pi) = \cos(\alpha + 2 \cdot 2\pi) = \cos \alpha$.

Числитель: $1 - \cos^2(90^\circ + \alpha)$. Сначала упростим выражение в скобках. По формуле приведения $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$ (угол $90^\circ + \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен, а функция меняется на кофункцию).

Тогда числитель равен $1 - (-\sin \alpha)^2 = 1 - \sin^2 \alpha$.

Из основного тригонометрического тождества имеем $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{1 - \cos^2(90^\circ + \alpha)}{\cos(\alpha + 4\pi)} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha$.

Ответ: $\cos \alpha$.

0.16. Дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Напишите общий член и первые 5 членов этой прогрессии. Найдите сумму первых 5 членов при:

1) $a_1 = 3, d = 2;$

2) $a_1 = 1,8, d = -0,3.$

1) Для арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 2$.
Общий член прогрессии.
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1=3$ и $d=2$.
$a_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.
Первые 5 членов прогрессии.
$a_1 = 3$
$a_2 = a_1 + d = 3 + 2 = 5$
$a_3 = a_2 + d = 5 + 2 = 7$
$a_4 = a_3 + d = 7 + 2 = 9$
$a_5 = a_4 + d = 9 + 2 = 11$
Таким образом, первые 5 членов прогрессии: 3, 5, 7, 9, 11.
Сумма первых 5 членов.
Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Для нахождения суммы первых 5 членов ($S_5$) используем $n=5$, $a_1=3$ и $a_5=11$.
$S_5 = \frac{3 + 11}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$.
Ответ: общий член $a_n = 2n + 1$; первые 5 членов: 3, 5, 7, 9, 11; сумма первых 5 членов $S_5 = 35$.

2) Для арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 1,8$ и разностью $d = -0,3$.
Общий член прогрессии.
Используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1=1,8$ и $d=-0,3$.
$a_n = 1,8 + (n-1) \cdot (-0,3) = 1,8 - 0,3n + 0,3 = 2,1 - 0,3n$.
Первые 5 членов прогрессии.
$a_1 = 1,8$
$a_2 = a_1 + d = 1,8 + (-0,3) = 1,5$
$a_3 = a_2 + d = 1,5 + (-0,3) = 1,2$
$a_4 = a_3 + d = 1,2 + (-0,3) = 0,9$
$a_5 = a_4 + d = 0,9 + (-0,3) = 0,6$
Таким образом, первые 5 членов прогрессии: 1,8; 1,5; 1,2; 0,9; 0,6.
Сумма первых 5 членов.
Используем формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Для нахождения суммы первых 5 членов ($S_5$) используем $n=5$, $a_1=1,8$ и $a_5=0,6$.
$S_5 = \frac{1,8 + 0,6}{2} \cdot 5 = \frac{2,4}{2} \cdot 5 = 1,2 \cdot 5 = 6$.
Ответ: общий член $a_n = 2,1 - 0,3n$; первые 5 членов: 1,8; 1,5; 1,2; 0,9; 0,6; сумма первых 5 членов $S_5 = 6$.

0.17. Дана геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Напишите общий член и первые 5 членов этой прогрессии. Найдите сумму первых 5 членов при:

1) $b_1 = 4, q = 2$;

2) $b_1 = 16, q = -0.5$.

1) При $b_1 = 4$ и $q = 2$.

Формула общего члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим данные значения: $b_n = 4 \cdot 2^{n-1}$. Эту формулу можно упростить: $b_n = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{2 + n - 1} = 2^{n+1}$.

Найдем первые 5 членов прогрессии, последовательно умножая предыдущий член на знаменатель $q=2$:

$b_1 = 4$

$b_2 = b_1 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$

$b_3 = b_2 \cdot q = 8 \cdot 2 = 16$

$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot 2 = 32$

$b_5 = b_4 \cdot q = 32 \cdot 2 = 64$

Таким образом, первые 5 членов прогрессии: 4, 8, 16, 32, 64.

Для нахождения суммы первых 5 членов используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_5 = \frac{4(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{4(32 - 1)}{1} = 4 \cdot 31 = 124$.

Ответ: общий член $b_n = 2^{n+1}$; первые 5 членов: 4, 8, 16, 32, 64; сумма первых 5 членов $S_5 = 124$.

2) При $b_1 = 16$ и $q = -0,5$.

Формула общего члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим данные значения: $b_n = 16 \cdot (-0,5)^{n-1}$.

Найдем первые 5 членов прогрессии, последовательно умножая предыдущий член на знаменатель $q = -0,5$:

$b_1 = 16$

$b_2 = b_1 \cdot q = 16 \cdot (-0,5) = -8$

$b_3 = b_2 \cdot q = -8 \cdot (-0,5) = 4$

$b_4 = b_3 \cdot q = 4 \cdot (-0,5) = -2$

$b_5 = b_4 \cdot q = -2 \cdot (-0,5) = 1$

Таким образом, первые 5 членов прогрессии: 16, -8, 4, -2, 1.

Для нахождения суммы первых 5 членов используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_5 = \frac{16((-0,5)^5 - 1)}{-0,5 - 1} = \frac{16(-0,03125 - 1)}{-1,5} = \frac{16(-1,03125)}{-1,5} = \frac{-16,5}{-1,5} = 11$.

Или, представив в виде обыкновенных дробей:

$S_5 = \frac{16((-\frac{1}{2})^5 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{16(-\frac{1}{32} - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{16(-\frac{33}{32})}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{16 \cdot 33}{32}}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{33}{2}}{-\frac{3}{2}} = 11$.

Ответ: общий член $b_n = 16 \cdot (-0,5)^{n-1}$; первые 5 членов: 16, -8, 4, -2, 1; сумма первых 5 членов $S_5 = 11$.

0.18. Оказалось, что 6 учеников из 30 пришли неподготовленными к уроку. Найдите вероятность того, что случайно вызванный к доске ученик окажется:

1) подготовленным;

2) неподготовленным к уроку.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где:

• $n$ – общее число исходов (в данном случае – общее количество учеников).
• $m$ – число благоприятных исходов (количество учеников, соответствующее условию).

Всего в классе 30 учеников, значит $n=30$.

Количество неподготовленных учеников – 6.

Следовательно, количество подготовленных учеников равно: $30 - 6 = 24$.

1) подготовленным

Найдем вероятность того, что случайно вызванный ученик окажется подготовленным.
Число благоприятных исходов (количество подготовленных учеников) $m = 24$.
Общее число исходов (все ученики) $n = 30$.
Вероятность равна:
$P(\text{подготовлен}) = \frac{m}{n} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5} = 0,8$
Ответ: 0,8.

2) неподготовленным к уроку

Найдем вероятность того, что случайно вызванный ученик окажется неподготовленным.
Число благоприятных исходов (количество неподготовленных учеников) $m = 6$.
Общее число исходов (все ученики) $n = 30$.
Вероятность равна:
$P(\text{неподготовлен}) = \frac{m}{n} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0,2$
Ответ: 0,2.

0.19. Определите координаты центра и радиус окружности:

1) $x^2 + y^2 - 4x + 12y + 4 = 0$;

2) $x^2 + y^2 - 9x = 0$.

1) $x^2 + y^2 - 4x + 12y + 4 = 0$

Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, приведем данное уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус окружности. Для этого сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 12y) + 4 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$. В нашем случае $m=x$, а $2mn = 4x$, откуда $n=2$. Нам не хватает $n^2=2^2=4$. Добавим и вычтем 4:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$

Выделим полный квадрат для выражения с $y$. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$. Здесь $m=y$, а $2mn = 12y$, откуда $n=6$. Нам не хватает $n^2=6^2=36$. Добавим и вычтем 36:

$(y^2 + 12y + 36) - 36 = (y+6)^2 - 36$

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$((x-2)^2 - 4) + ((y+6)^2 - 36) + 4 = 0$

Упростим выражение:

$(x-2)^2 + (y+6)^2 - 4 - 36 + 4 = 0$

$(x-2)^2 + (y+6)^2 - 36 = 0$

$(x-2)^2 + (y+6)^2 = 36$

Теперь уравнение имеет канонический вид. Сравнивая его с $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, находим:

Координаты центра $(a; b)$ равны $(2; -6)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 36$, следовательно, радиус $R = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: Координаты центра $(2; -6)$, радиус $R = 6$.

2) $x^2 + y^2 - 9x = 0$

Аналогично первому пункту, приведем уравнение к каноническому виду. Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 9x) + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Здесь $m=x$, $2mn=9x$, значит $n = \frac{9}{2}$. Нам не хватает $n^2 = (\frac{9}{2})^2 = \frac{81}{4}$. Добавим и вычтем это значение:

$(x^2 - 9x + \frac{81}{4}) - \frac{81}{4} = (x - \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4}$

Для переменной $y$ выражение уже является полным квадратом, так как его можно записать как $(y - 0)^2$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$((x - \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4}) + (y - 0)^2 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x - \frac{9}{2})^2 + (y - 0)^2 = \frac{81}{4}$

Сравнивая полученное уравнение с каноническим видом $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, находим:

Координаты центра $(a; b)$ равны $(\frac{9}{2}; 0)$ или $(4.5; 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = \frac{81}{4}$, следовательно, радиус $R = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: Координаты центра $(\frac{9}{2}; 0)$, радиус $R = \frac{9}{2}$.