Страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.20. Постройте график уравнения:

1) $y + |x| = 3;$

2) $x^2 - 8x - y + 13 = 0;$

3) $y(x - 2) = 3.$

1) $y + |x| = 3$

Для построения графика преобразуем данное уравнение, выразив переменную $y$: $y = 3 - |x|$. Это функция, содержащая модуль. Чтобы раскрыть модуль, рассмотрим два случая:

1. Когда $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $y = 3 - x$. Графиком этой функции является прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, от этой прямой мы берем только луч, начинающийся в точке $(0, 3)$ и проходящий через точку $(3, 0)$.

2. Когда $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $y = 3 - (-x)$, что равносильно $y = 3 + x$. Это также прямая линия. Возьмем две точки, например, $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. В этом случае мы берем луч, начинающийся в точке $(0, 3)$ и проходящий через точку $(-3, 0)$ для $x < 0$.

Объединяя оба случая, получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из общей точки $(0, 3)$.

Ответ: График уравнения $y + |x| = 3$ представляет собой два луча, выходящих из точки $(0, 3)$ и проходящих через точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

2) $x^2 - 8x - y + 13 = 0$

Выразим $y$ из уравнения, чтобы получить явный вид функции: $y = x^2 - 8x + 13$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для построения параболы найдем координаты ее вершины и направление ветвей.

Координата $x_0$ вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае $a=1$, $b=-8$, $c=13$. $x_0 = -(-8) / (2 \cdot 1) = 8 / 2 = 4$.

Для нахождения координаты $y_0$ подставим $x_0=4$ в уравнение параболы: $y_0 = 4^2 - 8(4) + 13 = 16 - 32 + 13 = -3$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(4, -3)$.

Поскольку коэффициент при $x^2$ ($a=1$) положителен, ветви параболы направлены вверх. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x=0$: $y = 0^2 - 8(0) + 13 = 13$. Точка пересечения с осью OY — $(0, 13)$. Построим график по найденным точкам (вершина, точка пересечения с OY и симметричная ей точка).

Ответ: График уравнения $x^2 - 8x - y + 13 = 0$ является параболой с вершиной в точке $(4, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

3) $y(x - 2) = 3$

Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{3}{x-2}$. Это уравнение задает гиперболу. Данная функция является смещенной и растянутой версией базовой гиперболы $y = 1/x$.

Найдем асимптоты графика: 1. Вертикальная асимптота: функция не определена, когда знаменатель равен нулю. $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой. 2. Горизонтальная асимптота: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3}{x-2} = 0$. Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.

График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами. Найдем несколько точек для построения:

• При $x = 3, y = \frac{3}{3-2} = 3$. Точка $(3, 3)$.
• При $x = 5, y = \frac{3}{5-2} = 1$. Точка $(5, 1)$.
• При $x = 1, y = \frac{3}{1-2} = -3$. Точка $(1, -3)$.
• При $x = 0, y = \frac{3}{0-2} = -1.5$. Точка $(0, -1.5)$.

Ответ: График уравнения $y(x-2)=3$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

0.21. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} |x-1|+y=2, \\ x+y=3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1, \\ x+y=4; \end{cases}$

3) $ \begin{cases} 2x^2-3xy-19y^2=8, \\ x^2-6y^2=3. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} |x-1| + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение системы: $|x-1| + (3-x) = 2$
Упростим полученное уравнение: $|x-1| = 2 - 3 + x$
$|x-1| = x - 1$
Равенство вида $|a| = a$ является верным тогда и только тогда, когда подмодульное выражение неотрицательно, то есть $a \ge 0$. В нашем случае это означает, что $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Таким образом, решением системы является любая пара чисел $(x, y)$, для которой выполняется условие $x \ge 1$, а $y$ находится из соотношения $y = 3 - x$.
Ответ: $(x, 3-x)$ при $x \ge 1$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ x + y = 4 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $\frac{y+x}{xy} = 1$
Из второго уравнения системы мы знаем, что $x+y=4$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение: $\frac{4}{xy} = 1$
Отсюда следует, что $xy = 4$. Теперь мы имеем новую, более простую систему: $ \begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 4 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим известные значения суммы и произведения: $t^2 - 4t + 4 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(t-2)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень (кратности 2): $t=2$. Следовательно, $x=2$ и $y=2$. Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(2, 2)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 3xy - 19y^2 = 8 \\ x^2 - 6y^2 = 3 \end{cases} $
Это система, левые части уравнений которой являются однородными многочленами второй степени. Чтобы решить ее, исключим свободные члены. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 8: $ \begin{cases} 3(2x^2 - 3xy - 19y^2) = 24 \\ 8(x^2 - 6y^2) = 24 \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x^2 - 9xy - 57y^2 = 24 \\ 8x^2 - 48y^2 = 24 \end{cases} $
Приравняем левые части уравнений, так как их правые части равны: $6x^2 - 9xy - 57y^2 = 8x^2 - 48y^2$
Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые: $2x^2 + 9xy + 9y^2 = 0$
Это однородное уравнение. Заметим, что $y \ne 0$, так как если $y=0$, то из исходной системы получаем $2x^2=8$ и $x^2=3$, что является противоречием. Разделим уравнение на $y^2$: $2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 9\left(\frac{x}{y}\right) + 9 = 0$
Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$: $2t^2 + 9t + 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$. $t_1 = \frac{-9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$
$t_2 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
Теперь рассмотрим два случая:
1) $\frac{x}{y} = -3 \implies x = -3y$. Подставим это в уравнение $x^2 - 6y^2 = 3$: $(-3y)^2 - 6y^2 = 3 \implies 9y^2 - 6y^2 = 3 \implies 3y^2 = 3 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y=1$ (и $x=-3$) или $y=-1$ (и $x=3$). Получаем два решения: $(-3, 1)$ и $(3, -1)$.
2) $\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \implies x = -\frac{3}{2}y$. Подставим это в уравнение $x^2 - 6y^2 = 3$: $\left(-\frac{3}{2}y\right)^2 - 6y^2 = 3 \implies \frac{9}{4}y^2 - 6y^2 = 3 \implies 9y^2 - 24y^2 = 12 \implies -15y^2 = 12 \implies y^2 = -\frac{4}{5}$. Это уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: $(-3, 1), (3, -1)$.

0.22. Во дворе находятся гуси и козы. Количество их ног равно 24, а количество голов – 9. Сколько гусей и коз во дворе?

Для решения этой задачи можно использовать систему уравнений. Обозначим количество гусей за $g$, а количество коз — за $k$.

Каждое животное имеет одну голову. Всего голов 9. Это дает нам первое уравнение:

$g + k = 9$

У каждого гуся по 2 ноги, а у каждой козы — по 4 ноги. Всего ног 24. Это дает нам второе уравнение:

$2 \cdot g + 4 \cdot k = 24$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} g + k = 9 \\ 2g + 4k = 24 \end{cases}$

Можно упростить второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$g + 2k = 12$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} g + k = 9 \\ g + 2k = 12 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $k$:

$(g + 2k) - (g + k) = 12 - 9$

$k = 3$

Итак, во дворе 3 козы.

Теперь подставим найденное значение $k$ в первое уравнение, чтобы найти количество гусей $g$:

$g + 3 = 9$

$g = 9 - 3$

$g = 6$

Таким образом, во дворе 6 гусей.

Проверка:

Общее количество голов: $6 \text{ (гусей)} + 3 \text{ (козы)} = 9$. Верно.

Общее количество ног: $6 \times 2 + 3 \times 4 = 12 + 12 = 24$. Верно.

Ответ: во дворе 6 гусей и 3 козы.

0.23. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} 5(x+2) - 9(x+1) - 3 < 1, \\ 7(3+5x) < 3x - 5(x-2); \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - 3x - 4 \le 0, \\ 2x + 1 > 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - 3x - 40 \le 0, \\ 3x^2 - 5x + 2 \ge 0. \end{cases} $

1) Решим систему линейных неравенств:

$$ \begin{cases} 5(x+2) - 9(x+1) - 3 < 1, \\ 7(3+5x) < 3x - 5(x-2); \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$5(x+2) - 9(x+1) - 3 < 1$

Раскроем скобки:

$5x + 10 - 9x - 9 - 3 < 1$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x - 2 < 1$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$-4x < 1 + 2$

$-4x < 3$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -3/4$

Второе неравенство:

$7(3+5x) < 3x - 5(x-2)$

Раскроем скобки:

$21 + 35x < 3x - 5x + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$21 + 35x < -2x + 10$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$35x + 2x < 10 - 21$

$37x < -11$

$x < -11/37$

Теперь объединим решения в систему:

$$ \begin{cases} x > -3/4, \\ x < -11/37. \end{cases} $$

Найдем пересечение этих множеств на числовой оси. Так как $-3/4 = -0.75$, а $-11/37 \approx -0.297$, то $-3/4 < -11/37$.

Решением системы является интервал, в котором выполняются оба неравенства: $x \in (-3/4; -11/37)$.

Ответ: $(-3/4; -11/37)$.

2) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x - 4 \le 0, \\ 2x + 1 > 0; \end{cases} $$

Решим первое, квадратное, неравенство: $x^2 - 3x - 4 \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3-5}{2} = -1$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3+5}{2} = 4$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ ветвями направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $x^2 - 3x - 4 \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-1; 4]$.

Решим второе, линейное, неравенство: $2x + 1 > 0$.

$2x > -1$

$x > -1/2$

Решение второго неравенства: $x \in (-1/2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-1; 4] \cap (-1/2; +\infty)$.

Пересечением является полуинтервал $(-1/2; 4]$.

Ответ: $(-1/2; 4]$.

3) Решим систему квадратных неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x - 40 \le 0, \\ 3x^2 - 5x + 2 \ge 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 40 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 40 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - 13}{2} = -5$, $x_2 = \frac{3 + 13}{2} = 8$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 40$ ветвями направлена вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-5; 8]$.

Решим второе неравенство: $3x^2 - 5x + 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни: $x_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = 2/3$, $x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 - 5x + 2$ ветвями направлена вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty; 2/3] \cup [1; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-5; 8] \cap ((-\infty; 2/3] \cup [1; +\infty))$.

Это пересечение можно разбить на две части:

1) $[-5; 8] \cap (-\infty; 2/3] = [-5; 2/3]$

2) $[-5; 8] \cap [1; +\infty) = [1; 8]$

Объединив эти два множества, получаем окончательное решение.

Ответ: $[-5; 2/3] \cup [1; 8]$.

0.24. Углы треугольника относятся как $5 : 6 : 7$. Найдите градусные и радианные меры углов этого треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно условию, их величины относятся как $5:6:7$. Обозначим одну часть этого отношения через $x$. Тогда углы можно выразить как $\alpha = 5x$, $\beta = 6x$ и $\gamma = 7x$.

Градусные меры углов

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Используя это свойство, составим и решим уравнение:
$5x + 6x + 7x = 180^\circ$
$18x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{18}$
$x = 10^\circ$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти градусную меру каждого угла:
Первый угол: $5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$
Второй угол: $6 \cdot 10^\circ = 60^\circ$
Третий угол: $7 \cdot 10^\circ = 70^\circ$

Радианные меры углов

Для перевода градусной меры угла в радианную используется соотношение $180^\circ = \pi$ радиан. Формула для перевода:
Угол в радианах = (Угол в градусах) $\cdot \frac{\pi}{180^\circ}$

Выполним перевод для каждого из найденных углов:
Первый угол: $50^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{50\pi}{180} = \frac{5\pi}{18}$ радиан.
Второй угол: $60^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
Третий угол: $70^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{70\pi}{180} = \frac{7\pi}{18}$ радиан.

Ответ: градусные меры углов треугольника равны $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$; радианные меры углов равны $\frac{5\pi}{18}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{18}$.

0.25. Найдите значение выражения $sin \alpha - \cos^2 \alpha + \sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha$ при:

1) $\alpha = \frac{4\pi}{3}$;

2) $\alpha = 300^\circ$;

3) $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

1) при $ \alpha = \frac{4\pi}{3} $

Для нахождения значения выражения, сначала вычислим значения тригонометрических функций для угла $ \alpha = \frac{4\pi}{3} $. Этот угол находится в III четверти координатной плоскости.

1. $ \sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

2. $ \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $

3. $ \tg(\frac{4\pi}{3}) = \tg(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение $ \sin\alpha - \cos^2\alpha + \sqrt{3}\tg\alpha $:

$ \sin(\frac{4\pi}{3}) - \cos^2(\frac{4\pi}{3}) + \sqrt{3}\tg(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{1}{2})^2 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} $

Упростим полученное выражение:

$ -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} + 3 = 3 - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{11}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

2) при $ \alpha = 300^\circ $

Вычислим значения тригонометрических функций для угла $ \alpha = 300^\circ $. Этот угол находится в IV четверти.

1. $ \sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

2. $ \cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $

3. $ \tg(300^\circ) = \tg(360^\circ - 60^\circ) = -\tg(60^\circ) = -\sqrt{3} $

Подставим найденные значения в выражение:

$ \sin(300^\circ) - \cos^2(300^\circ) + \sqrt{3}\tg(300^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - (\frac{1}{2})^2 + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) $

Упростим полученное выражение:

$ -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} - 3 = -3 - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{12}{4} - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{13}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ -\frac{13}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

3) при $ \alpha = -\frac{5\pi}{4} $

Вычислим значения тригонометрических функций для угла $ \alpha = -\frac{5\pi}{4} $. Для удобства приведем угол к положительному значению в пределах от $0$ до $2\pi$: $ -\frac{5\pi}{4} + 2\pi = -\frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $. Этот угол находится во II четверти.

1. $ \sin(-\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

2. $ \cos(-\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

3. $ \tg(-\frac{5\pi}{4}) = \tg(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sin(\frac{3\pi}{4})}{\cos(\frac{3\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 $

Подставим найденные значения в выражение:

$ \sin(-\frac{5\pi}{4}) - \cos^2(-\frac{5\pi}{4}) + \sqrt{3}\tg(-\frac{5\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3} \cdot (-1) $

Упростим полученное выражение:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2}{4} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} - \sqrt{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} - \sqrt{3} $

0.26. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}$;

2) $\sin^2 (\pi + \alpha) + \sin^2 \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

3) $\left(\sin(\pi + \alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\right)^2 + \left(\cos(2\pi - \alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\right)^2$.

1) Для упрощения данного выражения представим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя определения: $\tg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ и $\ctg^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Преобразуем числитель дроби:$\sin^2 \alpha - \tg^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha}\right)$.Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$, получаем:$\sin^2 \alpha \left(\frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Преобразуем знаменатель дроби:$\cos^2 \alpha - \ctg^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}\right)$.Из основного тождества следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$. Тогда:$\cos^2 \alpha \left(\frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right) = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:$\frac{\sin^2 \alpha - \tg^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \ctg^2 \alpha} = \frac{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{-\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^6 \alpha}{\cos^6 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^6 = \tg^6 \alpha$.

Ответ: $\tg^6 \alpha$

2) Используем формулы приведения для упрощения каждого слагаемого.

Для первого слагаемого: $\sin(\pi + \alpha)$. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Так как мы прибавляем $\pi$, название функции не меняется. Таким образом, $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$. Тогда $\sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin \alpha)^2 = \sin^2 \alpha$.

Для второго слагаемого: $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Так как мы прибавляем $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (синус на косинус). Таким образом, $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha$. Тогда $\sin^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = (-\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:$\sin^2(\pi + \alpha) + \sin^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Ответ: $1$

3) Упростим выражение по частям, используя формулы приведения для каждого тригонометрического члена.

Сначала упростим выражение в первой скобке:$\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$ (третья четверть, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).Тогда выражение в первой скобке равно: $(\sin(\pi + \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 = (-\sin \alpha - (-\cos \alpha))^2 = (\cos \alpha - \sin \alpha)^2$.

Теперь упростим выражение во второй скобке:$\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$ (четвертая четверть, косинус положителен, функция не меняется).$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$ (первая четверть, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).Тогда выражение во второй скобке равно: $(\cos(2\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha))^2 = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2$.

Исходное выражение принимает вид:$(\cos \alpha - \sin \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sin \alpha)^2$.

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):$(\cos^2 \alpha - 2\cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)$.

Приведем подобные слагаемые:$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2\cos \alpha \sin \alpha + 2\cos \alpha \sin \alpha$.Слагаемые $- 2\cos \alpha \sin \alpha$ и $+ 2\cos \alpha \sin \alpha$ взаимно уничтожаются.

Группируем оставшиеся члены и применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$

0.27. Определите знак выражения:

1) $ \cos 40^\circ \cdot \sin 120^\circ \cdot \operatorname{tg} 150^\circ $;

2) $ \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} $;

3) $ \cos 8 \cdot \sin 5 $.

1) cos 40° · sin 120° · tg 150°
Для определения знака выражения необходимо определить знак каждого множителя, используя тригонометрическую окружность.
- Угол 40° принадлежит I четверти ($0° < 40° < 90°$). В I четверти косинус положителен, поэтому $cos 40° > 0$.
- Угол 120° принадлежит II четверти ($90° < 120° < 180°$). Во II четверти синус положителен, поэтому $sin 120° > 0$.
- Угол 150° принадлежит II четверти ($90° < 150° < 180°$). Во II четверти тангенс отрицателен, поэтому $tg 150° < 0$.
Знак всего произведения определяется произведением знаков множителей:
$(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.
Следовательно, выражение имеет отрицательный знак.
Ответ: знак минус (-).

2) tg $\frac{5\pi}{4}$ · ctg $\frac{\pi}{6}$
Определим знак каждого множителя.
- Определим, в какой четверти находится угол $\frac{5\pi}{4}$. Поскольку $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$, этот угол принадлежит III четверти. В III четверти тангенс положителен, поэтому $tg \frac{5\pi}{4} > 0$.
- Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит I четверти ($0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$). В I четверти котангенс положителен, поэтому $ctg \frac{\pi}{6} > 0$.
Знак произведения:
$(+) \cdot (+) = (+)$.
Следовательно, выражение имеет положительный знак.
Ответ: знак плюс (+).

3) cos 8 · sin 5
Углы 8 и 5 заданы в радианах. Для определения их четвертей используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.
Вычислим значения, кратные $\frac{\pi}{2}$:
$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$; $\pi \approx 3.14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$; $2\pi \approx 6.28$; $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$; $3\pi \approx 9.42$.
- Определим знак $cos 8$. Угол 8 радиан находится в промежутке $\frac{5\pi}{2} < 8 < 3\pi$ (так как $7.85 < 8 < 9.42$). Этот промежуток соответствует II координатной четверти (если вычесть полный оборот $2\pi$). Во II четверти косинус отрицателен, поэтому $cos 8 < 0$.
- Определим знак $sin 5$. Угол 5 радиан находится в промежутке $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ (так как $4.71 < 5 < 6.28$). Этот промежуток соответствует IV координатной четверти. В IV четверти синус отрицателен, поэтому $sin 5 < 0$.
Знак произведения:
$(-) \cdot (-) = (+)$.
Следовательно, выражение имеет положительный знак.
Ответ: знак плюс (+).

0.28. Определите четность функции:

1) $y = x^3 - 7x;$

2) $y = 1 - \cos x;$

3) $y = \cos x \sin x;$

4) $y = \text{tg} x \cdot \sin^2 x.$

Для определения четности функции $y = f(x)$ необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (т.е. если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен принадлежать ей).
2. Должно выполняться одно из следующих равенств для любого $x$ из области определения:
• $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является четной.
• $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечетной.
Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция является ни четной, ни нечетной.

1) $y = x^3 - 7x$

Обозначим функцию как $f(x) = x^3 - 7x$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 7(-x) = -x^3 + 7x$.
Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 - 7x) = -x^3 + 7x$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

2) $y = 1 - \cos x$

Обозначим функцию как $f(x) = 1 - \cos x$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = 1 - \cos(-x)$.
Поскольку косинус — четная функция, $\cos(-x) = \cos x$.
Следовательно, $f(-x) = 1 - \cos x$.
Сравнивая $f(-x)$ с $f(x)$, получаем:
$f(-x) = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

3) $y = \cos x \sin x$

Обозначим функцию как $f(x) = \cos x \sin x$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \cos(-x) \sin(-x)$.
Используем свойства четности тригонометрических функций: $\cos(-x) = \cos x$ (четная) и $\sin(-x) = -\sin x$ (нечетная).
$f(-x) = (\cos x)(-\sin x) = -\cos x \sin x$.
Сравнивая $f(-x)$ с $-f(x)$, получаем:
$f(-x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

4) $y = \tg x \cdot \sin^2 x$

Обозначим функцию как $f(x) = \tg x \cdot \sin^2 x$.
Область определения функции $D(f)$ задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \tg(-x) \cdot \sin^2(-x)$.
Используем свойства четности тригонометрических функций:
• Тангенс — нечетная функция: $\tg(-x) = -\tg x$.
• Квадрат синуса — четная функция, так как $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.
Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:
$f(-x) = (-\tg x) \cdot (\sin^2 x) = -(\tg x \cdot \sin^2 x)$.
Сравнивая $f(-x)$ с $-f(x)$, получаем:
$f(-x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.