Номер 0.23, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.23. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} 5(x+2) - 9(x+1) - 3 < 1, \\ 7(3+5x) < 3x - 5(x-2); \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - 3x - 4 \le 0, \\ 2x + 1 > 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - 3x - 40 \le 0, \\ 3x^2 - 5x + 2 \ge 0. \end{cases} $

1) Решим систему линейных неравенств:

$$ \begin{cases} 5(x+2) - 9(x+1) - 3 < 1, \\ 7(3+5x) < 3x - 5(x-2); \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$5(x+2) - 9(x+1) - 3 < 1$

Раскроем скобки:

$5x + 10 - 9x - 9 - 3 < 1$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x - 2 < 1$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$-4x < 1 + 2$

$-4x < 3$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -3/4$

Второе неравенство:

$7(3+5x) < 3x - 5(x-2)$

Раскроем скобки:

$21 + 35x < 3x - 5x + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$21 + 35x < -2x + 10$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$35x + 2x < 10 - 21$

$37x < -11$

$x < -11/37$

Теперь объединим решения в систему:

$$ \begin{cases} x > -3/4, \\ x < -11/37. \end{cases} $$

Найдем пересечение этих множеств на числовой оси. Так как $-3/4 = -0.75$, а $-11/37 \approx -0.297$, то $-3/4 < -11/37$.

Решением системы является интервал, в котором выполняются оба неравенства: $x \in (-3/4; -11/37)$.

Ответ: $(-3/4; -11/37)$.

2) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x - 4 \le 0, \\ 2x + 1 > 0; \end{cases} $$

Решим первое, квадратное, неравенство: $x^2 - 3x - 4 \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3-5}{2} = -1$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3+5}{2} = 4$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ ветвями направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $x^2 - 3x - 4 \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-1; 4]$.

Решим второе, линейное, неравенство: $2x + 1 > 0$.

$2x > -1$

$x > -1/2$

Решение второго неравенства: $x \in (-1/2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-1; 4] \cap (-1/2; +\infty)$.

Пересечением является полуинтервал $(-1/2; 4]$.

Ответ: $(-1/2; 4]$.

3) Решим систему квадратных неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x - 40 \le 0, \\ 3x^2 - 5x + 2 \ge 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 40 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 40 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - 13}{2} = -5$, $x_2 = \frac{3 + 13}{2} = 8$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 40$ ветвями направлена вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-5; 8]$.

Решим второе неравенство: $3x^2 - 5x + 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни: $x_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = 2/3$, $x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 - 5x + 2$ ветвями направлена вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty; 2/3] \cup [1; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-5; 8] \cap ((-\infty; 2/3] \cup [1; +\infty))$.

Это пересечение можно разбить на две части:

1) $[-5; 8] \cap (-\infty; 2/3] = [-5; 2/3]$

2) $[-5; 8] \cap [1; +\infty) = [1; 8]$

Объединив эти два множества, получаем окончательное решение.

Ответ: $[-5; 2/3] \cup [1; 8]$.